【动态规划】 换钱方法

【动态规划】 动态规划最重要的两个问题就是  状态的定义 和 状态转移方程的定义。


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换钱方法
给定数组arr,arr中所有的值都是整数且不重复，每个值代表一种面值的货币，
每种面值的货币可以使用任意张，再给定一个整数，aim代表要找的钱数，求换钱有多少种方法。
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思路：
1，对 arr 从小到大排序。
2，建一张二维表 dp[m][n+1],其中 m 表示 arr 中货币的种类数， n 表示 aim。
   如：arr={2,3,4}， aim=5;
      
      | 0 1 2 3 4 5
    --|---------------
    2 | 1 0 1 0 1 0
    3 | 1 0 0 0 0 0
    4 | 1 0 0 0 0 0
      |
3,状态：    初始化 dp 表， dp[i][j] 表示目标钱数 j 用 arr[0],...,arr[i] 对应的货币来换的方法数。例如 dp[4][1] 表示用 2和3 换
  货币 4 的方法数。
4，状态转移：填充 dp 中的其他元素
   dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-arr[i]]


时间复杂度  O(m*n)

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代码：

class Solution{
public:
    int changeMoneyWays(vector& array, int aim){
        sort(array.begin(), array.end());
        const int n = array.size();   //   构造二维 dp 的行
        const int m = aim + 1;        //    。。。。。。列
        vector> dp(n, vector(m, 0));        //   二维的 dp 数组
        for (int i = 0; i < n; ++i)                          //   初始化 dp 第一列
            dp[i][0] = 1;                            
        for (int j = 1; j < m; ++j) {                        //   初始化 dp 第一行
            if (!(j%array[0]))
                dp[0][j] = 1;
        }                         

        for (int i = 1; i < n; ++i){                         //  填充 dp 的其他部分
            for (int j = 1; j < m; ++j){

                dp[i][j] += dp[i - 1][j];                    //   状态转移
                if ( j >= array[i])
                    dp[i][j] += dp[i][j - array[i]];
            }
        }
        return dp[n - 1][m - 1];
    }
};