【后缀自动机sam学习小记】

定义

顾名思义，后缀自动机就是可以识别原串所有后缀的自动机，最后回到达叶子状态，同时也可以识别所有连续子串。

时间复杂度

线性。由构造方法可知点数是线性的。构出sam后除了主链，即代表原串的链，其他的边要么就是构成了一个新的后缀，要么就是连接若干条构成了一个新的后缀的边，形成一个类似树的结构，所以边也是线性的。

各种东西的意义

很多性质都由定义得出，理解定义就可以发现很多性质。

right

一个字符串的right集即出现这个字符串[l,r)的所有r的集合。

能走到sam上同一个节点的字符串right集一定相同，一个节点的right集即任意一个能到达当前节点的字符串的right集。

right集只有包含与被包含或无交集，当r相同时增大l，right集不会减小。

fa

即parent，就是最小的right集，包含当前right集。

mx

使当前right集合法的最大长度，可以发现，使当前right集合法的最小长度即fa的mx加1。

构造

考虑上一个加入的字符所代表的点p，当前要加入的字符所代表的点np，新建一条p=>np的边，mx[np]=mx[p]+1，这个比较显然，其实就是当前字符串的长度。

考虑找p的fa，找到第一个由当前字符转移的点q，类似于ac自动机跳fail，找到最大的right集包含当前的right集，且包含当前字符转移的，对之前的点都连一条到np的边。由连边方式可以发现当前p的所有fa都一定有当前字符转移的边。

设p连出去的点为q，当mx[p]+1==mx[q]时可以发现q是由p直接转移过来的，可以直接加上当前字符，把np的fa设为q即可。当mx[p]+1！=mx[q]时可以发现p到q之间经过了多于一个字符，我们必须新建状态来表示当前情况，设这个点为nq，可以发现nq的mx比q的mx小，即right集较大，而p的mx比nq的mx小，即right集较大。所以q是nq的子集，nq是q的子集，fa[q]=nq,fa[nq]=p,fa[np]=nq,mx[nq]=mx[p]+1>

同时我们要处理nq的转移，可以发现q的转移和nq一样，而之前转移到q的状态就要先转移到nq，这个很容易证明。至此我们就完成了sam的构造。

应用

sam的应用很灵活，体现在它自动机的特性和parent树，还有right集的各种特性，具体的例子留坑待填。

code

例题链接

#include
#include
#include
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define fo(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)
#define fd(i,j,k) for(int i=j;i>=k;i--)
using namespace std;
int const mn=5*1e5+9,mp=1e6+9,inf=1e9+7;
int t,K,n,pon,f[mp],g[mp],son[mp][26],fa[mp],mx[mp],du[mp],qu[mp];
char s[mn];
int main(){
    //freopen("string.in","r",stdin);
    //freopen("string.out","w",stdout);
    freopen("d.in","r",stdin);
    freopen("d.out","w",stdout);
    scanf("%s",s+1);n=strlen(s+1);
    fo(i,1,n)s[i]-='a';
    scanf("%d%d",&t,&K);
    int last=pon=1;
    fo(i,1,n){
        int p=last,np=last=++pon;
        mx[np]=mx[p]+1;f[np]=1;
        for(;p&&(!son[p][s[i]]);p=fa[p])son[p][s[i]]=np;
        if(!p){fa[np]=1;continue;}
        int q=son[p][s[i]];
        if(mx[p]+1==mx[q])fa[np]=q;
        else{
            int nq=++pon;mx[nq]=mx[p]+1;
            fa[nq]=fa[q];
            fa[np]=fa[q]=nq;
            fo(j,0,25)son[nq][j]=son[q][j];
            for(;p&&(son[p][s[i]]==q);p=fa[p])son[p][s[i]]=nq;
        }
        p=np;
    }
    fo(i,1,pon)du[fa[i]]++;
    int he=0,ti=0;
    fo(i,1,pon)if(!du[i])qu[++ti]=i;
    while(he!=ti){
        int now=qu[++he],next=fa[now];
        du[next]--;
        f[next]+=f[now];
        if(!du[next])qu[++ti]=next;
    }
    if(!t)fo(i,1,pon)f[i]=1;
    fo(i,1,pon)g[i]=f[i];
    fo(i,1,pon)fo(j,0,25)du[son[i][j]]++;
    he=0,ti=0;
    qu[++ti]=1;du[0]++;
    while(he!=ti){
        int now=qu[++he];
        fo(i,0,25){
            int next=son[now][i];
            du[next]--;
            if(!du[next])qu[++ti]=next;
        }
    }
    fd(i,ti,1)fo(j,0,25){
        int now=qu[i],next=son[now][j];
        if(next)g[now]+=g[next];
    }
    int now=1;
    if(K>g[1]){printf("-1");return 0;}
    while(1){
        fo(i,0,25){
            int next=son[now][i];
            if(!next)continue;
            if(g[next]next];
            else{
                printf("%c",'a'+i);
                K-=f[next];
                now=next;
                if(K<=0)return 0;
                break;
            }
        }
    }
    return 0;
}