随机抽样问题(蓄水池问题)

 

【问题】

随机抽样问题表示如下:

要求从N个元素中随机的抽取k个元素,其中N无法确定。

这种应用的场景一般是数据流的情况下,由于数据只能被读取一次,而且数据量很大,并不能全部保存,因此数据量N是无法在抽样开始时确定的;但又要保持随机性,于是有了这个问题。所以搜索网站有时候会问这样的问题。

这里的核心问题就是“随机”,怎么才能是随机的抽取元素呢?我们设想,买彩票的时候,由于所有彩票的中奖概率都是一样的,所以我们才是“随机的”买彩票。那么要使抽取数据也随机,必须使每一个数据被抽样出来的概率都一样。

【解决】

解决方案就是蓄水库抽样(reservoid sampling)。主要思想就是保持一个集合(这个集合中的每个数字出现),作为蓄水池,依次遍历所有数据的时候以一定概率替换这个蓄水池中的数字。

其伪代码如下:

Init : a reservoir with the size: k
        
for    i= k+1
to N
            M
=random(1
, i);
           
if( M <
k)
                 SWAP the Mth value and ith value
       end
for

解释一下:程序的开始就是把前k个元素都放到水库中,然后对之后的第i个元素,以k/i的概率替换掉这个水库中的某一个元素。

下面来具体证明一下:每个水库中的元素出现概率都是相等的。

【证明】

(1)初始情况。出现在水库中的k个元素的出现概率都是一致的,都是1。这个很显然。

(2)第一步。第一步就是指,处理第k+1个元素的情况。分两种情况:元素全部都没有被替换;其中某个元素被第k+1个元素替换掉。

我们先看情况2:第k+1个元素被选中的概率是k/(k+1)(根据公式k/i),所以这个新元素在水库中出现的概率就一定是k/(k+1)(不管它替换掉哪个元素,反正肯定它是以这个概率出现在水库中)。下面来看水库中剩余的元素出现的概率,也就是1-P(这个元素被替换掉的概率)。水库中任意一个元素被替换掉的概率是:(k/k+1)*(1/k)=1/(k+1),意即首先要第k+1个元素被选中,然后自己在集合的k个元素中被选中。那它出现的概率就是1-1/(k+1)=k/(k+1)。可以看出来,旧元素和新元素出现的概率是相等的。

情况1:当元素全部都没有替换掉的时候,每个元素的出现概率肯定是一样的,这很显然。但具体是多少呢?就是1-P(第k+1个元素被选中)=1-k/(k+1)=1/(k+1)。

(3)归纳法:重复上面的过程,只要证明第i步到第i+1步,所有元素出现的概率是相等的即可。参见:http://wansishuang.javaeye.com/blog/443902

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