[BZOJ2226][Spoj 5971] LCMSum（莫比乌斯反演）

题目描述

传送门

题解

画一波柿子

∑i=1n[i,j]

=∑i=1nni(i,j)

=n∑i=1n∑d=1n[(i,n)=d]id

令 i=id

=n∑d|n∑i=1nd[(i,nd)=1]i

利用反演公式 [n=1]=∑d|nμ(d)

=n∑d|n∑i=1ndi∑t|(i,nd)μ(t)

=n∑d|n∑t|nd∑i=1nd[t|i]iμ(t)

令 s(n)=∑i=1ni=i(i+1)2

n∑d|n∑t|nds(ndt)tμ(t)

设 f(n)=∑d|ns(nd)tμ(t)

=n∑d|nf(nd)

令 F(n)=∑d|nf(nd)
那么答案就是 nF(n) 了嘛…
可以发现 f 和 F 都可以用埃式筛法筛出来
那么询问就是 O(1) 的啦…
时间复杂度 O(nloglogn+T)

需要注意的是，这个公式： (i,j)=d−>(id,jd)=1 条件是 d|i 且 d|j

代码

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
#define N 1000005
#define LL long long

int T,n;
LL ans;
int p[N],prime[N],mu[N];
LL f[N],F[N];

void get(int n)
{
    mu[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;++i)
    {
        if (!p[i])
        {
            prime[++prime[0]]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for (int j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<=n;++j)
        {
            p[i*prime[j]]=1;
            if (i%prime[j]==0)
            {
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            else mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
    for (int i=1;i<=n;++i)
        for (int j=i;j<=n;j+=i)
            f[j]+=(LL)mu[i]*i*(j/i)*(j/i+1)/2;
    for (int i=1;i<=n;++i)
        for (int j=i;j<=n;j+=i)
            F[j]+=f[j/i];
}
int main()
{
    get(1000000);
    scanf("%d",&T);
    while (T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        ans=(LL)F[n]*n;
        printf("%lld\n",ans);
    }
}