bzoj 4013: [HNOI2015]实验比较 (树形DP+组合数学)

4013: [HNOI2015]实验比较

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Description

被邀请到实验室,做一个跟图片质量评价相关的主观实验。实验用到的图片集一共有  N  张图片,编号为  1   N 。实验分若干轮进行,在每轮实验中,小  D 会被要求观看某两张随机选取的图片,  然后小 需要根据他自己主观上的判断确定这两张图片谁好谁坏,或者这两张图片质量差不多。  用符号“ < ”、“ > ”和“ = ”表示图片  x y x y 为图片编号)之间的比较:如果上下文中  x   y  是图片编号,则  x 表示图片  x “质量优于” y x>y  表示图片  x “质量差于” y x=y 表示图片  x  y “质量相同”;也就是说,这种上下文中,“ < ”、“ > ”、“ = ”分别是质量优于、质量差于、质量相同的意思;在其他上下文中,这三个符号分别是小于、大于、等于的含义。图片质量比较的推理规则(在 x y 是图片编号的上下文中):( 1 x < y 等价于  y > x 。( 2 )若  x < y  y = z ,则 x < z 。( 3 )若 x < y  x = z ,则  z < y 。( 4 x=y 等价于  y=x 。( 5 )若 x=y  y=z ,则 x=z   实验中,小  D  需要对一些图片对 (x, y) ,给出  x < y   x = y  x > y  的主观判断。小 在做完实验后,  忽然对这个基于局部比较的实验的一些全局性质产生了兴趣。在主观实验数据给定的情形下,定义这  N  张图片的一个合法质量序列为形如“ x1 R1 x2 R2 x3 R3  xN-1 RN-1 xN ”的串,也可看作是集合 { xi Ri xi+1|1<=i<=N-1} ,其中  xi 为图片编号, x1,x2, ,xN 两两互不相同(即不存在重复编号), Ri < = ,“合法”是指这个图片质量序列与任何一对主观实验给出的判断不冲突。  例如:  质量序列 3 < 1 = 2  与主观判断“ 3 > 1 3 = 2冲突(因为质量序列中 3<1  1=2 ,从而 3<2 ,这与主观判断中的  3=2  冲突;同时质量序列中的  3<1  与主观判断中的  3>1  冲突)  ,但与主观判断“ 2 = 1 3 < 2   不冲突;因此给定主观判断“ 3>1 3=2时,1<3=2  1<2=3  都是合法的质量序列, 3<1=2  1<2<3 都是非法的质量序列。由于实验已经做完一段时间了,小 已经忘了一部分主观实验的数据。对每张图片  i ,小  D  都最多只记住了某一张质量不比  i  差的另一张图片  Ki 。这些小  D  仍然记得的质量判断一共有  M  条( 0 <= M <= N ),其中第 条涉及的图片对为 (KXi, Xi) ,判断要么是 KXi   < Xi   ,要么是 KXi = Xi ,而且所有的 Xi 互不相同。小 打算就以这 条自己还记得的质量判断作为他的所有主观数据。现在,基于这些主观数据,我们希望你帮小  D  求出这  N  张图片一共有多少个不同的合法质量序列。我们规定: 如果质量序列中出现“ x = y ”,那么序列中交换  x y 的位置后仍是同一个序列。 因此:  1<2=3=4<5  1<4=2=3<5  是同一个序列,  1 < 2 = 3  1 < 3 = 2  是同一个序列,而 1 < 2 < 3  1 < 2 = 3 是不同的序列, 1<2<3 2<1<3  是不同的序列。 由于合法的图片质量序列可能很多,  所以你需要输出答案对 10^9 + 7  取模的结果

Input

第一行两个正整数N,M,分别代表图片总数和小D仍然记得的判断的条数;
接下来M行,每行一条判断,每条判断形如”x < y”或者”x = y”。 

Output

 输出仅一行,包含一个正整数,表示合法质量序列的数目对 10^9+7取模的结果。

Sample Input

5 4
1 < 2
1 < 3
2 < 4
1 = 5

Sample Output

5

HINT

 不同的合法序列共5个,如下所示: 


1 = 5 < 2 < 3 < 4 

1 = 5 < 2 < 4 < 3 

1 = 5 < 2 < 3 = 4 

1 = 5 < 3 < 2 < 4 

1 = 5 < 2 = 3 < 4 

100%的数据满足N<=100。  

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题解:树形DP+组合数学

题目中说x

但是题目中并没有保证不会出现环,所以我们需要特判是否存在环,如果存在则无解。

因为还有一些x==y的关系,我们用并查集维护相同的点,将所有的相等关系并到一起,然后重新建树,我们会得到一片森林,森林不好处理所以我加入一个虚点,将所有的森林穿成一颗树。

f[i][j]表示i的子树中,有j个不相同元素的方案数。

考虑如何将两个子树合并,因为子树中的元素是有序的,所有在合并的时候仍需要保证其有序性。

设两个子树的答案分别是f[x][i],f[y][j]

那么我们可以合并成的序列长度k=[max(i,j),i+j]

合并后的答案就是g[k]=f[x][i]*f[y][j]*c(i,k)*c(j-k+i,i) 因为必须保证有序性,所以我们先从空位中选择i个给第一棵子树,剩下的(k-i)个位置第二棵子树只能顺序插入,那么会有(j-k+i)个没有单独的位置,只能和第一棵子树的元素公用一个位置。

#include
#include
#include
#include
#include
#define N 503
#define p 1000000007
#define LL long long
using namespace std;
int fa[N],point[N],nxt[N],v[N],px[N],py[N];
int n,m,tot,sum[N],ins[N],vis[N];
LL f[N][N],c[N][N],g[N][N],val[N][N];
bool pd;
int find(int x)
{
	if (fa[x]==x) return x;
	fa[x]=find(fa[x]);
	return fa[x];
}
void add(int x,int y)
{
	tot++; nxt[tot]=point[x]; point[x]=tot; v[tot]=y;
	//cout<



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