大二下：概率论与数理统计复习 4.随机变量数字特征之基础概念

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1. 数学期望

$$\begin{array}{rl}& 离散型随机变量的数学期望E(X)：E(X)=x_1{p}_1+x_2{p}_2+...=\sum _{i=1}^{\infty }{x}_i{p}_i\\ & 连续型随机变量的数学期望E(X)：E(X)={\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx,\\ & 这里的f(x)表示随机变量X的密度函数。\end{array}$$

2. 数学期望的性质

1. $E(C)=C,C为常数;$
2. $E(X+C)=E(X)+C,C为常数;$
3. $E(CX)=CE(X),C为常数;$
4. $E(X+Y)=E(X)+E(Y);$
5. $设X,Y相互独立,则E(XY)=E(X)E(Y).$

3. 方差与标准差

方差用$Var(X)$或$D(X)$来表示：$Var(X)=D(X)=E[X-E(X){]}^2=E(X^2)-[E(X){]}^2.$

定义：设$X$为一随机变量，如果$E\{[X-E(X){]}^2\}$，则称之为$X$的方差，记为$Var(X)$，即
$$Var(X)=E\{[X-E(X){]}^2\}，$$

$有时也使用D(X)表示X的方差。$
$把\sigma =\sqrt{D(X)}称为标准差，它在意义上也描述了平均的偏差。$

方差是随机变量的又一重要的数字特征，它刻画了随机变量取值在其中心位置附近的分散程度，也就是随机变量取值与平均值的偏离程度。设随机变量$X$的期望为$E(X)$，偏离量$X-E(X)$本身也是随机的，为刻画偏离程度的大小，不能使用$X-E(X)$的期望，因为其值为零，即正负偏离彼此抵消了。为避免正负偏离彼此抵消，可以使用$E[|X-E(X)|]$作为描述$X$取值分散程度的数字特征，称之为$X$的平均绝对差。由于在数学上绝对值的处理很不方便，因此常用$[X-E(X){]}^2$的平均值度量$X$与$E(X)$的偏离程度，这个平均值就是方差。

$离散型随机变量的方差：$
$$D(X)=E[X-E(X){]}^2=\sum _{i=1}^{\infty }[x_i-E(X){]}^2{p}_i$$
$连续型随机变量的数学期望E(X)：$
$$D(X)=E(X-E(X){]}^2={\int }_{-\infty }^{+\infty }[x-E(X){]}^{2}f(x)dx.$$

4. 方差的性质

1. $D(X)=0,C为常数;$
2. $D(X+C)=D(X),C为常数;$
3. $D(CX)=C^{2}D(X),C为常数;$
4. $D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)\pm 2E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\}=D(X)+D(Y)\pm 2Cov(X,Y);$
5. $设X,Y相互独立，则D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)$

5. 常用分布的期望与方差

分布	参数	分布律或概率密度	数学期望	方差
$0-1分布$	$p$	$$\begin{gathered} p\{x=k\}=p^k(1-p{)}^{1-k} \\ (k=0,1) \end{gathered}$$	$p$	$p(1-p)$
$$\begin{gathered} 二项分布 \\ B(n,p) \end{gathered}$$	$n,p$	$P\{x=k\}=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{1-k}$	$np$	$np(1-p)$
$几何分布$	$p$	$p\{x=k\}=p(1-p{)}^{k-1}$	$\frac{1}{p}$	$\frac{1-p}{p^2}$
$$\begin{gathered} 泊松分布 \\ P(\lambda )或\pi (\lambda ) \end{gathered}$$	$\lambda$	$P\{x=k\}=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}$	$\lambda$	$\lambda$
$$\begin{gathered} 均匀分布 \\ U(a,b) \end{gathered}$$	$a<b$	$f(x)=\frac{1}{b-a},(a<x<b)$	$\frac{a+b}{2}$	$\frac{(b-a{)}^2}{12}$
$$\begin{gathered} 正态分布 \\ N(\mu ,{\sigma }^2) \end{gathered}$$	$\mu ,\sigma$	$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$	$\mu$	${\sigma }^2$
$$\begin{gathered} 指数分布 \\ e(\theta )或Exp(\theta ) \end{gathered}$$	$\theta$	$f(x)=\{\begin{array}{rlr}& \theta e^{-\theta x},& x>0\\ & 0,& 其他\end{array}$	$\frac{1}{\theta }$	$\frac{1}{{\theta }^2}$

6. 协方差及性质

$协方差:Cov(X,Y)=E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\}=E(XY)-E(X)\cdot E(Y)$
$协方差性质：$

1. $Cov(X,Y)=Cov(Y,X)$
2. $Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)(a,b为常数)$
3. $Cov(X_1+X_2,Y)=Cov(X_1,Y)+Cov(X_2,Y)$
4. $D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)$
   $D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)$
5. $若X与Y相互独立，则Cov(X,Y)=0$

7. 相关系数

${\rho }_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}}$

8. 距

高大上名称

9. 考点分布