交大oj-1022-Fib数列 C++ 解题报告

交大oj-1022-Fib数列 C++ 总结

1，题目描述

https://acm.sjtu.edu.cn/OnlineJudge/problem/1022

2，解题思路

斐波那契数列求第N项的题一般有三种思路：

1，递归：Fib数列是递归的经典例子，但应用在解题中是费时占内存的选择，对于本题没什么帮助。
2，循环：这也是一种经典思路，但经过分析，也很容易发现不适用于本题。本题中N的最大值是210,000,000,000，每一次循环都要进行加法操作，如果不小于2010，还要进行取余运算。对于循环来说，O(n)的运算效率肯定是行不通的。
3，矩阵优化：这是本题解题的关键。这里感谢CSDN上的一篇很棒的文章利用矩阵求斐波那契数列，这篇文章很详细的讲解了如何将求斐波那契数列第N项转化为求一个二维矩阵的N次幂的问题。

• 那么问题来了，如何快速求[[1,1],[1,0]]这个矩阵的n次幂呢？
  链接的博客里有很明确的讲解：

  • Sol(1)：求矩阵A的n次幂，n = 2 * k 时，有 A ^ n = A ^ k * A ^ k; n = 2 * k + 1 时，有 A ^ n = A ^ k * A ^ k * A ，简化运算。
  • Sol(2)：求指数n的二进制数，从低到高，每一项对应的底数为A ^ (i表示第i位)。将所有的位得到的结果相乘，得到最终的结果。实现时可以用位运算符或者是bitset类。这种方法不仅适用于矩阵的n次幂，其实快速求幂运算也是按照这种思路进行的。
  • Sol(3)：你可以先计算出一些N对应的矩阵，在程序里定义出来，这样在实际运算时直接使用，能减少很多运算。

• 关于2010：最后的结果是得到的矩阵的第一项，根据矩阵的乘法公式可以得到，矩阵A* B = C, 对矩阵A和B中的每一项进行取模运算，进行乘法得到C后，对C的第i项再进行取模运算，和直接进行乘法得到C后，对C的第i项进行取模运算，得到的结果是相同的。但对A和B进行取模运算的好处是，避免了C中某一项过大，发生溢出。

3，解题代码

#include 

using namespace std;

class matrix {
public:
    int nums[2][2];
    matrix(int a, int b, int c, int d) {
        nums[0][0] = a;
        nums[0][1] = b;
        nums[1][0] = c;
        nums[1][1] = d;
    }
};

void multiply(matrix &m1, matrix &m2) { // 2*2 x 2*2 rsult -> m1!
    int a = (m1.nums[0][0] * m2.nums[0][0] + m1.nums[0][1] * m2.nums[1][0]) % 2010;
    int b = (m1.nums[0][0] * m2.nums[0][1] + m1.nums[0][1] * m2.nums[1][1]) % 2010;
    int c = (m1.nums[1][0] * m2.nums[0][0] + m1.nums[1][1] * m2.nums[1][0]) % 2010;
    int d = (m1.nums[1][0] * m2.nums[0][1] + m1.nums[1][1] * m2.nums[1][1]) % 2010;
    m1.nums[0][0] = a;
    m1.nums[0][1] = b;
    m1.nums[1][0] = c;
    m1.nums[1][1] = d;
}

int main()
{
    matrix result(1, 0, 0, 1);
    matrix base(1, 1, 1, 0);
    long long n;
    cin >> n;
    long long index = n - 1;
    while (index) {
        if (index & 1) {
            multiply(result, base);
        }
        index = index >> 1;
        multiply(base, base);
    }
    cout << result.nums[0][0];
    //cout << result.nums[0][0] << "   " << result.nums[0][1] << endl;
    //cout << result.nums[1][0] << "   " << result.nums[1][1] << endl;
    return 0;
}

矩阵的实现比较简陋，这道题凑合着能用。

4,快速求幂

以上思路能用于求快速幂，以下是代码：

int pow4(int a,int b){
  int r=1,base=a;
  while(b){
    if(b&1) r*=base;
    base*=base;
    b>>=1;
  }
  return r;
}

知识源于积累，没有人天生聪慧