PBRT学习笔记：利用Monte Carlo算法模拟积分

Monte Carlo算法经常会被用来进行定积分的运算。在光线跟踪中，经常会有一些不定积分的运算，由于引入了场景、光源等诸多因素，这些积分很难通过分析模型计算出积分的结果。从而这些积分的运算必须通过其他的方式进行，而Monte Carlo算法刚好可以解决其中的诸多渲染积分，从而被广泛应用到光线跟踪算法中。
对于Monte Carlo算法本身，我现在了解的十分有限，所以不乱介绍了……
我们先来看一个最简单的Monte Carlo算法的例子吧。求一个单位圆的面积，结果很简单，就是π。当然这是前人的工作所总结的结果，计算方法有很多种，那么利用Monte Carlo算法是如何计算呢。其实很简单，就是以圆心为中心，做一个边长为2的正方形，这个单位圆正好和正方形内切。随即在正方形内部采样点，当采样数量为N，计算N个采样点中有多少是在圆的内部（这里用K表示），然后K/N就为圆与正方形的面积比例了，由于正方形的面积是4，所以圆的面积就是4*K/N。
上述计算为Monte Carlo的一个简单应用，那么下面我们看下Monte Carlo是如何应用来模拟定积分的。假设对于下列积分：
首先，按照均匀分布，随即采样区域[a,b]，记采样点为Xi，每个采样点的PDF值p(x)=1/(b-a)。利用Monte Carlo算法，上述积分可以模拟为：
当N趋近于无穷大的时候，我们认为两者的值是一致的，所以可以利用上述离散的方式模拟这个积分。其推倒方法并不难理解：

上述方法就可以模拟定积分了，即在积分范围内采样，然后找到被积函数在采样点的值，通过上述计算就可以得到积分的近似值。当N越大的时候，这种逼近就越接近真实结果。
当然，在实际应用中，上述计算法方法虽然可以计算出正确的结果，但是收敛速度未必会很好。可能为了得到一个可以接受的结果，我们需要N的值特别特别大，从而带来了非常大的计算量。所以我们需要更好的方法来改进上述模拟过程，使得收敛速度提高。
事实上，我们在对于[a,b]进行采样的时候，完全没有必要进行均匀采样，这样做只是简单而已，我们可以根据一种概率分布来进行采样，从而使得某些区域的采样密度更大。加入采样点的概率分布函数(PDF)为P(x)，那么我们可以利用如下公式计算定积分的值：
 
可以看到，前面的均匀采样的公式无非就是p(x)=1/(b-a)的特例而已。上述公式可以理解为利用Monte Carlo模型进行定积分运算的一个基本模型。这个证明方法如下：
利用这种模拟方式，我们可以模拟光线跟踪中的诸多定积分运算，而这些定积分运算本身是很难通过理论模型进行计算的，其被积函数是没有原函数的，甚至被积函数中还包含着同样类似的积分。
无论利用何种PDF分布进行采样，理论上讲，我们都是可以得到正确的积分结果的，但是不同的PDF分布所带来的收敛速度差距是非常大的。所以PDF的选取对于定积分的模拟也是非常重要的，毕竟计算机的计算能力有限，而且采样点的多少直接线性影响了计算时间，所以一个好的PDF分布是至关重要的。
当PDF的形状接近于被积函数的时候，我们认为这种采样时候非常合适的。考虑最理想情况，PDF的形状和被积函数只差一个比例系数，即f(x)/p(x)=c，由此可以推出函数的积分即为c。那么即使仅仅取一个采样点，我们同样可以得到完全正确的结果。当然，这只是一种极端理想的情况。而且如果我们知道了被积函数的形状，很可能我们就可以通过理论分析模型计算出定积分的值了，而根本不用Monte Carlo算法了。