网络流二元关系

最最最基本模型

有n个任务，可以选择A任务或者B任务，代价分别是a,b，还有一些三元组关系，[x,y,z]表示如果x任务和y任务选的任务不同，将会有一个额外的代价c，现在分配任务，使总代价最小。

按以上方式建图，跑最小割即是答案。

为什么呢？
其实这个图有个好性质，就是如果你已经割了两个不在一侧的边，那你必然要割中间的一条，这样的话，就可以用了。
题设是不同的任务会产生代价，那我们把不同的放在两侧就行了。

T1&T1’:

把模型改一下，改成相同会产生代价。

那就交换一下顺序，这样可以保证割了相同的时，中间的也会被割掉一个。
由于是a、b的连边是相反的，在建图之前我们需要染色。
如果遇到奇环怎么办呢？

在这里提供一种不用使a、b的连边相反的方法：

这是我在做题中遇到的一个可以应对所有“相同有代价”一类问题新方法，并且它更强，可以是一个集合S集合内的元素相等产生代价，代价也可以是针对都选的是A任务或B任务而不同。

原理：

把相同产生代价z,改成都选A产生代价z_a，都选B产生代价z_b。
以“都选A产生代价z_a”为例。
新建了一个点A’，S到它有流量为z_a的弧，它到S集合的各个元素有流量为max的弧。
已经割了a_x和a_y后，也要割z_a，所以是对的。

b的同理，再建一个即可。

T2&&T2’：

最小费用，不同任务的有一个负的代价（代价全是负的）。

我们知道流量不能是负的，所以怎么办呢？
infleaking：不同任务有代价就相当于相同任务无代价，相同任务有代价就相当于不同任务无代价。
可以先求出所有负代价的和，把它们看作正代价，再求相同有代价的最小割加上之前的和就是答案。

原理：

如果x,y选择相同的，就相当于不要那个负的代价了。

如果代价又有正又有负怎么办呢？
代价是正的和普通的一样连，求出所有负代价的和，转换一下，然后按照T1’的方式连弧求的是相同会产生代价，答案是最小割加上所有负代价的和，显然这样不会有问题。

T3：

最小变成最大。
按最小的构图。
先求所有的代价的和，求出最小割，再用和减去最小割。

以上是一些最基础的构图，谢谢YL的PPT。