库默尔定理学习小记

A组又出现了逆天的数竞定理，随便口胡一下。

定理：

有两个正整数n,m，p是质数， Cnn+m 含ｐ的幂次等于ｍ＋ｎ在ｐ进制下的进位数。

简略证明：

Cnn+m 含ｐ的幂次
=∑∞i=1⌊n+mpi⌋−∑∞i=1⌊npi⌋−∑∞i=1⌊mpi⌋
=∑∞i=1⌊n+mpi⌋−⌊npi⌋−⌊mpi⌋
这个把组合数的计算公式套一下就好了。
然后你就发现当i确定时， ⌊n+mpi⌋−∑∞i=1⌊npi⌋−∑∞i=1⌊ｍpi⌋ 要么是1，要么是0。
那么什么时候是1呢？把n+m、n、m转换成p进制看，除以了 pi ,相当于去掉了后i位
如果说i+1位要进位，那显然 ⌊n+mpi⌋−∑∞i=1⌊npi⌋−∑∞i=1⌊ｍpi⌋ = 1，证明完成。