Prüfer编码与Cayley公式学习小记

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Prüfer编码:

一棵有编号的树如何用一个序列表示？Prüfer编码出奇迹。

如何构序列：

一共有n-2次操作：
找到当前叶子节点中编号最小的那个点x，输出与x相邻的点，删掉x。

根据序列求树：

由于没有出现在序列里的序号恰好是是叶子节点，所以每次找到每次找到序号最小的叶子节点，与序列的对应项形成一条边，把这个叶子删掉，继续考虑即可。

*一棵树对应唯一一个Prüfer编码，一个Prüfer编码也对应唯一一棵树。

Cayley公式：

n个点的完全图的生成树个数个数是 nn−2 n n − 2 。

因为一个Prüfer编码对应一棵树，而点数为n的Prüfer编码长度是n-2,每个位置有n种可能，所以为 nn−2 n n − 2 。

推导：
设编号为i的点的度数是 di d i ，则树的个数是 (n−2)!∏(di−1)！ ( n − 2 ) ! ∏ ( d i − 1 ) ！ ，这相当于有重复元素的排列问题。