自然数幂和（第二类斯特林数）

1.我们知道 nk n k 可以用第二类斯特林数拆成：
∑ki=1{ki}∗i!∗(ni) ∑ i = 1 k { i k } ∗ i ! ∗ ( i n )

2.组合数的一个性质：
∑nj=1(ji)=(n+1i+1) ∑ j = 1 n ( i j ) = ( i + 1 n + 1 )
证明：
(i+1n+1)=(in)+(i+1n) ( n + 1 i + 1 ) = ( n i ) + ( n i + 1 )
=(in)+(in−1)+(i+1n−1) = ( n i ) + ( n − 1 i ) + ( n − 1 i + 1 )
…
发现一直展开就是前面的sigma。

自然数幂和：
∑ni=1ik ∑ i = 1 n i k
=∑ni=1∑kj=1{kj}∗j!∗(ij) = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 k { j k } ∗ j ! ∗ ( j i )
=∑kj=1{kj}∗j!∗∑ni=1(ij) = ∑ j = 1 k { j k } ∗ j ! ∗ ∑ i = 1 n ( j i )
=∑kj=1{kj}∗j!∗(n+1j+1) = ∑ j = 1 k { j k } ∗ j ! ∗ ( j + 1 n + 1 )
=∑kj=1{kj}(n+1)j+1––––j+1 = ∑ j = 1 k { j k } ( n + 1 ) j + 1 _ j + 1

(n+1)j+1–––– ( n + 1 ) j + 1 _ 中一定有一个数是 (j+1) ( j + 1 ) 的倍数，因此这个方法没有用到模意义下除法。