fisher information 的直观意义

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首先我们看一下 Fisher Information 的定义：
假设你观察到 i.i.d 的数据 服从一个概率分布,是你的目标参数（for simplicity， 这里是个标量，且不考虑 nuissance parameter），那么你的似然函数（likelihood）就是：

为了解得Maximum Likelihood Estimate(MLE)，我们要让log likelihood的一阶导数得0，然后解这个方程，得到
这个log likelihood的一阶导数也叫，Score function ：

那么Fisher Information，用表示，的定义就是这个Score function的二阶矩（second moment）。
一般情况下（under specific regularity conditions）可以很容易地证明，, 从而得到：

于是得到了Fisher Information的第一条数学意义：就是用来估计MLE的方程的方差。它的直观表述就是，随着收集的数据越来越多，这个方差由于是一个Independent sum的形式，也就变的越来越大，也就象征着得到的信息越来越多。

而且，如果log likelihood二阶可导，在一般情况下（under specific regularity conditions）可以很容易地证明:

于是得到了 Fisher Information的第二条数学意义：log likelihood在参数真实值处的负二阶导数的期望。这个意义好像很抽象，但其实超级好懂。
首先看一下一个normalized Bernoulli log likelihood长啥样：
<img src="https://pic3.zhimg.com/28c4c679b6758707ed779c066d0e8e3a_b.jpg" data-rawwidth="900" data-rawheight="806" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="900" data-original="https://pic3.zhimg.com/28c4c679b6758707ed779c066d0e8e3a_r.jpg">对于这样的一个log likelihood function，它越平而宽，就代表我们对于参数估计的能力越差，它高而窄，就代表我们对于参数估计的能力越好，也就是信息量越大。而这个log likelihood在参数真实值处的负二阶导数，就反应了这个log likelihood在顶点处的弯曲程度，弯曲程度越大，整个log likelihood的形状就越偏向于高而窄，也就代表掌握的信息越多。

对于这样的一个log likelihood function，它越平而宽，就代表我们对于参数估计的能力越差，它高而窄，就代表我们对于参数估计的能力越好，也就是信息量越大。而这个log likelihood在参数真实值处的负二阶导数，就反应了这个log likelihood在顶点处的弯曲程度，弯曲程度越大，整个log likelihood的形状就越偏向于高而窄，也就代表掌握的信息越多。

然后，在一般情况下（under specific regularity conditions），通过对score function在真实值处泰勒展开，然后应用中心极限定理，弱大数定律，依概率一致收敛，以及Slutsky定理，可以证明MLE的渐进分布的方差是 ，即 , 这也就是 Fisher Information的第三条数学意义。不过这样说不严谨，严格的说，应该是 , 这里 是当只观察到一个X值时的Fisher Information，当有n个 i.i.d 观测值时， 。所以这时的直观解释就是，Fisher Information反映了我们对参数估计的准确度，它越大，对参数估计的准确度越高，即代表了越多的信息。