逆序对计数问题 （python实现）

本题见于算法导论第三版习题2-4

题设：对于一个序列a1,a2,a3…an, 若存在i,j，使得iaj，则称为一个逆序对

输入：一个list对象、

输出：list中逆序对数目

分析：一个朴素的想法是这样的：依次遍历list中每一个元素，对每一个元素，查找其之后的每一个元素并与其比较，出现逆序对则计数+1，时间复杂度为O(n^2)——(n-1)+(n-2)+…+1。

但对于这个算法，实际上有隐含的条件被我们忽略了，例如当我们发现a2

我们可以换一个思路来考虑这个问题：对于一个a1那么我们实际上是要进行一个排序，当发现一次逆序，计数+1，而排序算法的最优解法为O(nlogn)

代码python实现如下——基于分治思想的归并排序，将有序列表和逆序对计数一同返回的递归解法：

def InversionNum(lst):
    # 改写归并排序,在归并排序中，每当R部分元素先于L部分元素插入原列表时，逆序对数要加L剩余元素数
    if len(lst) == 1:
        return lst,0
    else:
        n = len(lst) // 2
        lst1,count1 = InversionNum(lst[0:n])
        lst2,count2 = InversionNum(lst[n:len(lst)])
        lst,count = Count(lst1,lst2,0)
        return lst,count1+count2+count

def Count(lst1, lst2,count): 
    i = 0
    j = 0
    res = []
    while i < len(lst1) and j < len(lst2):
        if lst1[i] <= lst2[j]:
            res.append(lst1[i])
            i += 1
        else:
            res.append(lst2[j])
            count += len(lst1)-i # 当右半部分的元素先于左半部分元素进入有序列表时，逆序对数量增加左半部分剩余的元素数
            j += 1
    res += lst1[i:]
    res += lst2[j:]
    return res,count


print(InversionNum([11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1]))  # 输出为：[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11] 55