哈希表查找——成功和不成功时的平均查找长度

哈希表查找——成功和不成功时的平均查找长度

 

以下求解过程是按照“计算机统考的计算方法”，不同的老师、教材在“处理冲突”上可能会有不同的方法，所以最主要的是掌握原理即可，对于考研的朋友最好掌握统考真题的解题方法。

题目

例子：（2010年全国硕士研究生入学统一考试计算机科学与技术学科联考计算机学科专业基础综合试题第一题）

 

将关键字序列（7、8、30、11、18、9、14）散列存储到散列表中。散列表的存储空间是一个下标从0开始的一维数组。散列函数为： H(key) = (keyx3) MOD 7，处理冲突采用线性探测再散列法，要求装填（载）因子为0.7。
(1) 请画出所构造的散列表；
(2) 分别计算等概率情况下查找成功和查找不成功的平均查找长度。

 

1.散列表：

          α = 表中填入的记录数/哈希表长度    ==>  哈希表长度 = 7/0.7 = 10

            H(7) = (7x3) MOD 7 = 0           H(8) = (8x3) MOD 7 = 3           H(30) = (30x3) MOD 7 = 6

            H(11) = (11x3) MOD 7 = 5       H(18) = (18x3) MOD 7 = 5       H(9) = (9x3) MOD 7 = 6

            H(14) = (14x3) MOD 7 = 0

           按关键字序列顺序依次向哈希表中填入，发生冲突后按照“线性探测”探测到第一个空位置填入。

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
7	14		8		11	30	18	9

 

2.查找长度：

        2.1 查找成功的平均查找长度

       （待查找的数字肯定在散列表中才会查找成功）

         查找数字A的长度 = 需要和散列表中的数比较的次数；

       步骤：
                比如 查找数字：8

                则  H(8) = (8x3) MOD 7 = 3

                哈希表中地址3处的数字为8，进行了第一次比较：8 = 8，则查找成功，查找长度为1；

                比如查找数字：14

                则 H(14) = (14x3) MOD 7 = 0

                哈希表中地址0处的数字为7，进行第一次比较：7≠14

                哈希表中地址1处的数字为14，进行第二次比较：14=14 ，则查找成功，查找长度为2。                             
由此可得到如下数据：【2016年12月26日修改，多谢@一楼的朋友指正】

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
7	14		8		11	30	18	9
1	2		1		1	1	3	3

所以总的查找成功的平均查找长度= （1+1+1+1+3+3+2）/7 = 12/7

2.2查找不成功的平均查找长度

（待查找的数字肯定不在散列表中）

【解题的关键之处】根据哈希函数地址为MOD7，因此任何一个数经散列函数计算以后的初始地址只可能在0~6的位置

                查找0~6位置查找失败的查找次数为：

            地址0，到第一个关键字为空的地址2需要比较3次，因此查找不成功的次数为3.      

            地址1，到第一个关键字为空的地址2需要比较2次，因此查找不成功的次数为2.

            地址2，到第一个关键字为空的地址2需要比较1次，因此查找不成功的次数为1.

  地址3，到第一个关键字为空的地址4需要比较2次，因此查找不成功的次数为2.

  地址4，到第一个关键字为空的地址4需要比较1次，因此查找不成功的次数为1.

  地址5，到第一个关键字为空的地址2(比较到地址6，再循环回去)需要比较5次，因此查找不成功的次数为5.
 

  地址6，到第一个关键字为空的地址2(比较到地址6，再循环回去)需要比较4次，因此查找不成功的次数为4.

于是得到如下数据： 

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
7	14		8		11	30	18	9
3	2	1	2	1	5	4

则查找不成功的平均查找长度 = （3+2+1+2+1+5+4）/7 = 18/7

哈希表——线性探测法、链地址法、查找成功、查找不成功的平均长度

四、哈希表的装填因子

装填因子 = （哈希表中的记录数） /  （哈希表的长度）

装填因子是哈希表装满程度的标记因子。值越大，填入表中的数据元素越多，产生冲突的可能性越大。

 

五、不同处理冲突的平均查找长度

 

例：

假设散列表的长度是13，三列函数为H(K) = k % 13，给定的关键字序列为{32， 14， 23， 01， 42， 20， 45， 27， 55， 24， 10， 53}。分别画出用线性探测法和拉链法解决冲突时构造的哈希表，并求出在等概率情况下，这两种方法的查找成功和查找不成功的平均查找长度。

（1）线性探测法：

查找成功时的查找次数等于插入元素时的比较次数,查找成功的平均查找长度为：

ASL = （1+2+1+4+3+1+1+3+9+1+1+3)/12 = 2.5

查找成功时的查找次数：第n个位置不成功时的比较次数为：第n个位置到第1个没有数据位置的距离：如第0个位置取值为1，第11个位置取值为3，第12个位置取值2

查找不成功的平均查找次数为：

ASL = （1+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3 + 2）/ 13 = 91/13

 

哈希表查找不成功怎么计算？ 解答：先建好表，然后可以算出每个位置不成功时的比较次数之和，再除以表空间个数！

例如：散列函数为hash(x)=x MOD 11，用线性探测，建立了哈希表之后，如何求查找不成功时的平均查找长度！？

       地址：0     1    2    3    4    5    6    7    8    9    10       数据：33     1    13   12  34    38   27   22   －   －   －    成功次数：1     1    1    3    4    1    2    8  不成功次数：9     8    7    6    5    4    3    2    1    1    1

查找成功时的平均查找长度:ASL=(1+1+1+3+4+1+2+8)/8 =47/8 查找不成功时的平均查找长度:ASL=(9+8+7+6+5+4+3+2+1+1+1)/11

说明：

第n个位置不成功时的比较次数为，第n个位置到第1个没有数据位置的距离。

  如：第0个位置到第1个没有数据位置（8）的距离为9！

 

（1） 开放定址法

地址： 0   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12      

数据： 39  12  28  15  42  44   6  25  －  －   36   －   38   

成功次数： 1   3   1   2   2   1   1   9                1        1 

不成功次数： 9   8   7   6   5   4   3   2   1   1    2   1    10 

查找成功时的平均查找长度:ASL=(1+3+1+2+2+1+1+9+1+1)/10 =2.2 

查找不成功时的平均查找长度:ASL=(9+8+7+6+5+4+3+2+1+1+2+1+10)/13=4.54

 

（2）链地址法

java中的hashMap就是这样一种链表+数组的数据结构，查找方法很简单，先利用散列函数（一般是取余数的方法）定位数组具体哪个点，比如1就是余数为1的点的链表中，然后再遍历链表查找具体数值的位置，如,果是53，那就在链表的第四位置，需要查找四次；同理，27就需要查找3次！

查找成功时的平均查找长度：

ASL = (1*6+2*4+3*1+4*1)/12 = 7/4

查找不成功时的平均查找长度：

ASL = (4+2+2+1+2+1)/13

注意：查找成功时，分母为哈希表元素个数，查找不成功时，分母为哈希表长度。