'lintcode 染色问题'

lintcode 染色问题

描述

有一个圆形，分成n个扇形，用m种颜色给每个扇形染色，相邻扇形颜色不能相同。求方案总数。

不考虑对称性。
由于这个数可能很大，因此只需返回方案数模1e9 + 7。
1≤n≤1051  1≤n≤10​^5​​
1≤m≤1051 1≤m≤10​5​^5

样例

给定n = 2，m = 3，返回6。

解释：
一个圆划分为 2 个扇形，用 3 种颜色上色方案有“黑红，黑白，白红，白黑，红白，红黑”6 种。

给定 n = 3，m = 2，返回 0。

解释：
一个圆划分为 3 个扇形，用 2 种颜色上色，无论怎么上色，都没法保证相邻的颜色不同。

思路

使用动态规划，考虑每多1块扇形可能的情况：

1. 多的这一块扇形两边的颜色不一样
   如此，多的这一块有m-2种填法，剩下的n-1块的填法是f(n-1)。一共是f(n-1) * (m-2)
2. 多的这一块两边的扇形颜色一样
   多的这一块有m-1种，剩下的图形是f(n-2)

两者相加就可以得到递推式：
f(n) = (m-1)f(n-2) + (m-2)f(n-1)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

class Solution { public: /** * @param n: the number of sectors * @param m: the number of colors * @return: The total number of plans. */ int getCount(int n, int m) { // Write your code here vector dp(n+2, 0); unsigned long long mod = 1e9+7; dp[0] = 0; dp[1] = m; dp[2] = (unsigned long long)m*(m-1) % mod; dp[3] = (unsigned long long)m*(m-1)*(m-2) % mod; for (int i = 4; i < n+1; i++) dp[i] = ((m-2)*dp[i-1] + (m-1)*dp[i-2]) % mod; return dp[n]; } };

这里要注意的是，dp[2] = (unsigned long long)m(m-1) % mod;
dp[3] = (unsigned long long)m(m-1)(m-2) % mod;这两行，一开始的时候我没有加上强制类型转换 (unsigned long long)得出的结果一直是错的，加上之后就正确了。我猜想是因为m的类型是int，运算完m\(m-1)*(m-2)之后很有可能溢出了。所以我对这个操作进行了测试。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

int int_m = 1999; unsigned long long ull_m = 1999; cout << "int: " << int_m * int_m * int_m << endl; cout << "int(unsigned long long): " << (unsigned long long)int_m * int_m * int_m << endl; cout << "unsigned long long: "<< ull_m * ull_m * ull_m << endl;

第一行输出为 -601928593
第二行输出为 7988005999
第三行输出为 7988005999
结果显而易见了。在运算的时候，遇到大数，一定要注意精度的问题。

-------------end of file thanks for reading-------------