LeetCode基础-图-最小生成树

加权图：为每条边关联一个权值或者说成本的图模型。
图的生成树：含有图的所有顶点的无环连通子图。
最小生成树：加权无向图的最小生成树（MST）是它的一棵权值最小（所有边的权值之和）的生成树。
下图是加权无向图与它的最小生成树。

最小生成树有两个经典算法：

• Prim 算法
• Kruskal 算法

如果一幅图是非连通的，则只能用这个算法计算所有连通分量的最小生成树，合并在一起叫做最小生成森林。

还有几点要注意的：

• 边的权重未必是距离。
• 边的权重可能小于等于 0 。
• 所有边的权重都可能相同也可能不相同。

两个性质：

• 用一条边连接树中的任意两个顶点都会产生一个新的环。
  
• 从树中删去一条边可以得到两棵独立的树。
  

图的一种切分是把图的所有顶点分为两个 非空 且 不重复 的集合。横切片是一条连接两个属于不同集合的边。

通常，我们指定一个顶点集，然后隐式地认为它的补集是另一个顶点集。
给定任意的切分，它的横切边中的权重最小者必然属于图的最小生成树。
假设所有边的权重不相同，则每幅连通图都只有唯一的最小生成树。

贪心算法得到最小生成树：

带权重的边的数据类型：

public class Edge implements Comparable
{
    private final int v; // one vertex
    private final int w; // the other vertex
    private final double weight; // edge weight

    public Edge(int v, int w, double weight)
    {
        this.v = v;
        this.w = w;
        this.weight = weight;
    }

    public double weight()
    { return weight; }

    public int either()
    { return v; }

    public int other(int vertex)
    {
        if (vertex == v) 
        { return w;}
        else if (vertex == w) 
        { return v;}
        else 
        { throw new RuntimeException("Inconsistent edge");}
    }
    public int compareTo(Edge that)
    {
        if (this.weight() < that.weight()) 
        { return -1; }
        else if (this.weight() > that.weight()) 
        { return +1; }
        else 
        { return 0; }
    }
    public String toString()
    { return String.format("%d-%d %.2f", v, w, weight); }
}

加权无向图的数据类型：

“`
public class EdgeWeightedGraph
{
private final int V; // number of vertices
private int E; // number of edges
private Bag[] adj; // adjacency lists

public EdgeWeightedGraph(int V)
{
    this.V = V;
    this.E = 0;
    adj = (Bag[]) new Bag[V];
    for (int v = 0; v < V; v++)
    {
        adj[v] = new Bag();
    }
}
public int V() { return V; }
public int E() { return E; }

public void addEdge(Edge e)
{
    int v = e.either(), w = e.other(v);
    adj[v].add(e);
    adj[w].add(e);
    E++;
}
public Iterable adj(int v)
{ return adj[v]; }
public Iterable edges()
{
    Bag list = new Bag();
    for (int v = 0; v < V; v++) 
    {
        int selfLoops = 0;
        foreach (Edge e in adj(v)) 
        {
            if (e.other(v) > v) 
            {
                list.add(e);
            }
            // only add one copy of each self loop (self loops will be consecutive)
            else if (e.other(v) == v) 
            {
                if (selfLoops % 2 == 0) list.add(e);
                selfLoops++;
            }
        }
    }
    return list;
}

}

Prim算法

Prim算法能够得到任意加权无向图的最小生成树。
每一步都会为成长中的树加一条边。

Lazy实现：

Eager实现：

Kruskal 算法

Kruskal 算法的思想是按照边的权重顺序（从小到大）加入到树中，加入的边不会构成环。