1059 Prime Factors （25 分）厄拉多塞素数筛选法

题目

Given any positive integer N, you are supposed to find all of its prime factors, and write them in the format $N=p_1^{k_1}\times p_2^{k_2}\times \cdots \times p_m^{k_m}$.

Input Specification:
Each input file contains one test case which gives a positive integer N in the range of long int.

Output Specification:
Factor $N$ in the format $N=p_1^{k_1}\times p_2^{k_2}\times \cdots \times p_m^{k_m}$​​ , where $p_i$ are prime factors of $N$ in increasing order, and the exponent $k_i$ is the number of ​—— hence when there is only one is 1 and must NOT be printed out.

Sample Input:

97532468

Sample Output:

97532468=2^211171011291

解题思路

　　题目大意： 给定一个正整数N，找到它所有的质因子，并写成如下格式：
$$N=p_1^{k_1}\times p_2^{k_2}\times \cdots \times p_m^{k_m}$$
　　解题思路： 这道题的主要难点在找质因子上，如果用穷举法暴力遍历的方式去一个一个找质因子，会用到两层循环，时间复杂度在$O(n^2)$，那样至少有两个点会运行超时。
　　这里介绍一个更高效的找质因子的方法——厄拉多塞素数筛选法 （详情参考链接），该方法能把N以内的质因子的筛选，时间复杂度降到$O(n\times log(log(n)))$。
　　在选出所有的质因子之后就可以统计其计算系数了，可以用map直接进行统计。
　　注意一个边界点，当N自己是一个质数的时候，直接输出自己。更特别的，当N为1时，直接输出“1=1”。

/*
** @Brief:No.1059 of PAT advanced level.
** @Author:Jason.Lee
** @Date:2018-12-25
** @Solution: https://blog.csdn.net/CV_Jason/article/details/85282890
*/
#include
#include
#include
#define MAX 100000
using namespace std;
vector<bool> isPrime(MAX);
vector<int> prime;
int N;

void allPrime(){
	fill(isPrime.begin(),isPrime.end(),1);
	for(int i=2;i*i<MAX;i++){
		for(int j=i*i;j<MAX;j+=i){
			isPrime[j] = 0;
		}
	}
	for(int i=2;i<MAX;i++){
		if(isPrime[i]){
			prime.push_back(i);
		}
	}
} 
 
int main(){
	while(cin>>N){
		allPrime();
		map<int,int> factor;
		if(N==1){
			cout<<"1=1"<<endl;
			return 0;
		}
		int temp = N;
		while(N>1){
			for(auto elem:prime){
				while(N%elem==0){
					factor[elem]++;
					N/=elem;
				}
			}
			if(N == temp){
				cout<<N<<"="<<N<<endl;
				return 0;
			}
		}
		auto it = factor.begin();
		cout<<temp<<"="<<it->first;		
		if(it->second>1)
			cout<<"^"<<it->second;
		for(++it;it!=factor.end();it++){
			cout<<"*"<<it->first;
			if(it->second>1)
				cout<<"^"<<it->second;
		}
		cout<<endl;
	}
	return 0;
}

总结

　　如果知道厄拉多塞筛选法，这道题很快就能做出来了，如果不知道，这道题近乎无解，看来有时候出了编程功底之外，一定的数学常识也是必备的。其实有时候觉得编程到底就是数学……