HDU 6069 Counting Divisors (素因子求贡献)

数论 素数 素分解 贡献 HDU 2017多校赛

Description

给定 l​ ， r​ 和 k​ ，计算以下表达式的值。

∑i=lrd(ik)mod998244535

其中 d(n) 为 n 的正因子数量。

Input

第一行给出用例组数 T ，接下来 T 行，每行给出三个整数 l ， r 和 k 。 1⩽l⩽r⩽1012, r−l⩽106, 1⩽k⩽107 。

Output

对于每组测试用例，输出一个整数表示答案。

Sample Input

3
1 5 1
1 10 2
1 100 3

Sample Output

10
48
2302

Solution

易知若 n 的素因子分解为 n=pk11pk22⋯pkss ，则 d(n)=(k1+1)(k2+1)⋯(ks+1) ， d(nk)=(kk1+1)(kks+1)⋯(kks+1) 。因此要得到 ik 的因子数只需要素因子分解 i 。

一个数n的素因子主要分布在 [1,n√] 的范围内， [n√,n] 内最多有一个。反证：假设 [n√,n] 有两个素因子 p 和 q ，则 p×q⩾n ，矛盾。

区间 [l,r]​ 内每个数的素因子，主要分布在 [1,r√]​ 内， [r√,r]​ 内最多有一个。于是线性筛出 [1,r√]​ 范围内的所有质数，枚举每个质数 p​ ，枚举 [l,r]​ 内所有 p​ 的倍数，计算 p​ 对它们的全部贡献。然后枚举 [l,r]​ 内的每个数，如果在 [r√,r]​ 内还有素因子，一并算上。

时间复杂度为 O(∑ri=lΩ(i)) ，其中 Ω(i) 为 i 的素因子数量。

Code

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const ll mod = 998244353;
const int N = 1e6 + 10;

int is_prime[N], prime[N], tot;
void get_prime(int n)
{
    for (int i = 1; i <= n; i++) is_prime[i] = true;
    is_prime[0] = is_prime[1] = false;
    tot = 0;
    for (int i = 2; i <= n; i++)
    {
        if (is_prime[i]) prime[tot++] = i;
        for (int j = 0; j < tot && prime[j] * i <= n; j++)
        {
            is_prime[prime[j] * i] = false;
            if (i % prime[j] == 0) break;
        }
    }
}

ll a[N], d[N];

int main()
{
    int T;
    scanf("%d", &T);
    get_prime(1e6);
    while (T--)
    {
        ll l, r, k;
        scanf("%lld%lld%lld", &l, &r, &k);
        for (ll i = l; i <= r; i++) a[i - l] = i, d[i - l] = 1;;
        for (int i = 0; i < tot; i++)
        {
            ll p = prime[i];
            ll t = ceil((double)l / p) * p;
            for (ll j = t; j <= r; j += p)
            {
                int tot = 0;
                while (a[j - l] % p == 0) tot++, a[j - l] /= p;
                d[j - l] = d[j - l] * (tot * k % mod + 1) % mod;
            }
        } 
        ll ans = 0;
        for (ll i = l; i <= r; i++)
        {
            if (a[i - l] != 1) d[i - l] = d[i - l] * (k + 1) % mod;
            ans = (ans + d[i - l]) % mod;
        }
        printf("%lld\n", ans);
    }
    return 0;
}

Link

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6069