弦耕不辍(三)

第二部分 一种新型的一体化波形

2.1数学表达

关于MSK 的单一频率，第k位（传输的数据的第k位）这种新波形的调制信号的调制信号是：

$$\begin{gathered} s_k(t)=p_{k}cos(\frac{\pi t}{2T})cos(2\pi f_{c}t+\pi \mu t^2)-q_{k}sin(\frac{\pi t}{2T})sin(2\pi f_{c}t+\pi \mu t^2)(1) \\ =cos(\pi \mu t^2+p_k{q}_k\frac{\pi t}{2T}+\frac{1-p_k}{2}\pi )cos(2\pi f_{c}t)-sin(\pi \mu t^2+p_k{q}_k\frac{\pi t}{2T}+\frac{1-p_k}{2}\pi )sin(2\pi f_{c}t)(2) \end{gathered}$$

T是位宽，$p_k,q_k\in \{\pm 1\}$，且这两个系数就携带着信息。相比于单一频率的MSK方法，等式（1）仅仅就是用$exp(j(2\pi f_{c}t+\pi \mu t^2))$来替换载波$exp(j2\pi f_{c}t)$

然后，等式（2）可以表达成 $s_k(t)=Re{\tilde{s}}_k(t)e^{j2\pi f_{c}t}$是这个信号复杂的包络，其表达式如下：

$${\tilde{s}}_k(t)=rect\left(\frac{t-(k-1)T}{T}\right)e^{j\pi (\mu t^2+\frac{p_k{q}_k}{2T}t+\frac{1-p_k}{2})}$$

其中$rect(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\ge 0\\ 0,& 其他\end{array}$

而对于$N$位的调制信号而言，其表达式为：

$$\tilde{s}(t)=rect(\frac{t}{NT})e^{j\pi \mu t^2}\cdot {\sum }_{k=1}^{N}rect\left(\frac{t-(k-1)T}{T}\right)e^{j\pi (p_k{q}_k\frac{t}{2T}+\frac{1-p_k}{2})}$$

||望诸君不要怪罪于某，非我懒惰不愿写，实则$LaTeX$语言虽然形式美观，但编写极其繁复，望诸位见谅，下附录一些$LaTeX$源代码：

s_k(t)=p_kcos({\frac{{\pi}t}{2T}})cos(2{\pi}f_ct+{\pi}{\mu}t^2)-
q_ksin({\frac{{\pi}t}{2T}})sin(2{\pi}f_ct+{\pi}{\mu}t^2)
 {\qquad}{\qquad}{\qquad}{\qquad}{\qquad}(1)\\
=cos({\pi}{\mu}t^2+p_kq_k{\frac{{\pi}t}{2T}}+{\frac{1-p_k}{2}}{\pi})cos(2{\pi}f_ct)-
sin({\pi}{\mu}t^2+p_kq_k{\frac{{\pi}t}{2T}}+{\frac{1-p_k}{2}}{\pi})sin(2{\pi}f_ct)
 {\qquad}{\qquad}{\qquad}{\qquad}{\qquad}(2)

{\tilde{s}}_k(t)=
rect{\Bigg(}{\frac{t-(k-1)T}{T}}{\Bigg)}e^{j{\pi}({\mu}t^2+
{\frac{p_kq_k}{2T}}t+{\frac{1-p_k}{2}})}

rect(x)=\begin{cases}  
 1,{\qquad}& x{\ge} 0 \\
0,{\qquad}& 其他
\end{cases}

{\tilde{s}}(t)=
rect({\frac{t}{NT}})e^{j{\pi}{\mu}t^2}·
{\sum}_{k=1}^{N}rect{\Bigg(}{\frac{t-(k-1)T}{T}}{\Bigg)}
e^{j{\pi}(p_kq_k{\frac{t}{2T}}+{\frac{1-p_k}{2}})}

满纸荒唐言也！