后缀自动机
听说后缀自动机是一个能帮助你轻松pku的神数据结构？既然这么神奇那没理由不学啊！可我盯着后缀自动机看了一个上午也没有头绪，（主要是看了后面忘了前面，结果后来直接手动模拟一遍就搞清楚怎么跑的了，当时一脸蒙bi啊），然而，我还是决定简要地证明一下后缀机！
参考资料：
https://blog.csdn.net/qq_35649707/article/details/66473069
2012noi冬令营clj讲稿
hzy大佬ppt
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·后缀自动机的基本性质
对于一个串s，我们令r（zs）（zs为s的子串）表示zs子串在串s所有出现的末位置的集合，令n表示每个子串对应出现的个数，如：
aabbabac（1~8）：
r（a）={1,2,5,7}，n（a）=4；
r（ab）={3,6}，n（ab）=2；
r（ba）={5,7}，n（ba）=2；
r（aabba）={5}，n（aabba）=1；
r（abba）={5}，n（abba）=1……
引理1：对于两个子串s1，s2（length（s1）<=length（s2）），若r（s1）=r（s2），当且仅当s1在s中作为s2的后缀出现。
证明：略~（显然……（其实还是很好想的，实在不懂请回复））
引理2：对于两个子串s1，s2（length（s1） 证明：若s1为s2的后缀，即r（s1）与r（s2）至少有一个公共元素，意味着在其它r（s2）任意位置都出现过s1，但s1可能在其它地方出现，所以r（s2）⊆ r（s1）；若s1不为s2的后缀，意味着它们末位置一定不会出现在同一点上，所以r（s1）∩r（s2）=∅ 引理3：对于r集合相同的串，在原串s中出现一定是一段连续区间；但一段连续区间的子串的集合不一定属于同一集合 证明：由引理2得证，显然引理2与引理3是互补的 引理4：我们定义state为一个集合的状态（可以理解为树的节点编号，至于为什么，请往下看。如上例，串aabba与串abba在同一state里），则对于两个状态p，q，我们定义p为q的parent节点，当且仅当p是q的最小真包含的集合（在所有q⊆pi的集合中，n（pi）最小的一个），那么，对于任意一个状态q，有且仅有一个parent节点 证明：存在性显然，现在假设有p1，p2均为q的parent节点，则r（q）⊆ r（p1），r（q）⊆ r（p2），那么r（p1）与r（p2）有公共集合r（q），由引理2发现r（p1）与r（p2）可以合并，则最终只会存在1个parent节点，又因为每个状态有且仅有一个parent节点，所以这k个state状态构成了一颗树，我们姑且称这个树为fail树。 引理5：对于一颗状态树，它的总结点数不会超过2n-1个 证明：等比数列求和~ 首先，每个状态结点的fail指针指向它的parent 引理6：我们再定义maxl（k）为状态k的最长子串大小，同理minl（k）为其最小子串的大小，那么，对于状态p和q，若p为q的父亲，那么maxl（p）=minl（q）-1 证明：显然r（q）⊂ r（p），再次由引理2，我们可以证明minl（q）>maxl（p）……①，现在考虑一个minl（q）-1的串t，显然我们有r（q）⊂ r（t）⊆ r （p），由区间性质得到t∈{T|T=[minl（p）,maxl（p）]}，所以minl（q）-1<=maxl（p）……②，由①②得到maxl（p）=minl（q）-1 引理7：那么我们发现，一个串s[i]，顺着它的fail指针走，能够补全它的所有后缀 证明：显然对于一个状态节点，它会包含长度递减的[minlen,maxlen]的所有串，而此节点的fail指针指向节点的最大长度恰好为此节点minlen-1，因此，最终我们可以不遗漏的走回到初始状态 恩，原理相信都懂了~ 因为我是co的代码，并且对于构树网上都有很多讲解，就直接贴了 1）统计right集合 统计right集合有什么用呢？事实上，我们知道right集合（即上文的r集合）表示的是结尾字符的前缀，如果我们以正确的顺序统计right，我们能表示出以此字符串结尾的出现次数，这样，我们就可以求出以i为长度字符串的最大出现次数。 SPOJ8222重复子串 Description 给定字符串s，定义F(x)表示s的所有长度为x的子串中，重复出现次数最多子串在s中的出现的次数，两次出现可以有部分重叠。 Input 一行，即一个字符串s。注意均为小写字母 Output 共length(s)行，每行一个数。第i行为F(i)。 Sample Input ababa Sample Output 3 2 2 1 1 Hint 1<=length(s)<=250000 思路上文已经给出来了，直接给代码理解： POJ3415公共子串Common Substrings Description 题目大意：你有两个串A，B，给你一个数k，求A与B的公共子串里大于等于k的个数，注意位置不同另算 Input 1 ≤ |A|, |B| ≤ 10^5 1 ≤ K ≤ min{|A|, |B|} Output For the case, output an integer |S|. Sample Input 2 aababaa abaabaa Sample Output 22 通过我和ljr大佬的激烈讨论，我们终于有了思路！这应该算我第一道自己做出来的后缀自动机的题？（别逗了，明明是ljr大佬带你飞的）有大写字母是真的坑！！！ 一会儿写思路，先贴代码（因为oj数据水，我们就打纯暴力，听说poj要挂？不过暴力也只是nlog2n？）： 这道题主要是加深我们对于r集合的理解，因为不同位置要另算的缘故，我们走到一个状态之后，自然它r集合的所有元素都应该算进去，我们能感性地认识此方法是正确的。 因为对于一个状态，你的每一个转移状态是唯一的，也就是说，当你新匹配了一个字母之后，公共串增加了，我们就得到了一个新的串，显然是要加进去的，这样每一次转移，我们都能得到一个唯一的匹配，并且能将它完整地拼起来，因此不会漏也不会重复。不知道我说清楚没有？如果还不了解请回复 持续更新ing~·fail树
const int N = 2e5+10;
#define FOR(i,L,R) for(register int i=(L);i<=(R);++i)
struct Suffix{
#define MAXNODE N*2//最大结点数
char s[N];//原串
int rt,cnt,last,fal[MAXNODE],maxl[MAXNODE],trans[MAXNODE][130];
//编号，上一个字符，值，fail指针，最大长度，转移（转移状态参照文本标准）
inline void insert(int f){
int v=++cnt;//新建结点
maxl[v]=maxl[last]+1;
int p=last;last=v;//更新
while(p&&!trans[p][f])trans[p][f]=v,p=fal[p];
if(!p)return fal[v]=rt,void();//所有结点均无f转移
int q=trans[p][f];
if(maxl[p]+1==maxl[q])return fal[v]=q,void();//接一个可以做到
int newnode=++cnt;//拆点
maxl[newnode]=maxl[p]+1;//最短的一个
memcpy(trans[newnode],trans[q],sizeof(trans[q]));
fal[newnode]=fal[q];
fal[q]=fal[v]=newnode;
while(p&&trans[p][f]==q)trans[p][f]=newnode,p=fal[p];//如果我有此转移，我的所有fail指针均有此转移
}
inline void build(){
gets(s);//防止有空格
rt=cnt=last=1;
int len=strlen(s)-1;
FOR(i,0,len)insert(s[i]);
}
}·SAM的应用
现给定字符串s，求F(1),F(2),...,F(length(s)).#include//思路见下文
#include