【BZOJ1044】【HAOI2008】木棍分割

Description

　　有n根木棍, 第i根木棍的长度为Li,n根木棍依次连结了一起, 总共有n-1个连接处. 现在允许你最多砍断m个连接处, 砍完后n根木棍被分成了很多段,要求满足总长度最大的一段长度最小, 并且输出有多少种砍的方法使得总长度最大的一段长度最小. 并将结果mod 10007。。。

Input

　　输入文件第一行有2个数n,m.接下来n行每行一个正整数Li,表示第i根木棍的长度.n<=50000,0<=m<=min(n-1,1000),1<=Li<=1000.

Output

　　输出有2个数, 第一个数是总长度最大的一段的长度最小值, 第二个数是有多少种砍的方法使得满足条件.

Sample Input

3 2
1
1
10

Sample Output

10 2

HINT

两种砍的方法: (1)(1)(10)和(1 1)(10)

题解

很好的一道二分+优化dp的题.

首先看到最大的最小就想到二分，每次切尽量长的块，看最后要切几刀。二分完了就要dp了，他让求最多切m块的最优解，所以问什么设什么，dp[i][j]表示前i块切j刀的最优解，所以dp[i][j]=sigma dp[k][j-1](sum[i]-sum[k]<=len).为什么这么设就可以了呢？因为二分时你已经算出了最小的长度了，不能再小了，所以只要满足这个条件，分割的木棍中的最大长度一定是len这么长。还没完这么做时间复杂度为O(n*n*m)的足够超时，空间复杂度也不行。所以要进行优化，发现j只与j-1有关，所以可以用滚动数组把这一维优化掉，由于i是单调递增的所以k也是单调递增的(即最前面的sum[i]-sum[k]<=len的k的位置是单调的)，所以就可以用一个前缀和的思想，算出一个状态最前面的k是什么，这个可以预处理出来，这样就可以把这个问题解决了。

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int maxn=50010;
const int mod = 10007;
int sum[maxn],a[maxn],f[maxn][3],g[maxn][3],pos[maxn],maxx;
int n,m;
inline bool pan(int x){
	int ans=0,last=0;;
	if(maxx>x) return false;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(sum[i]-last>x) {
			ans++;
			last=sum[i-1]; 
		}
		if(ans>m) return false;
	}
	return true;
}
inline int binary(){
	int l=0,r=sum[n];
	while(l<=r){
		int mid=(l+r)>>1;
		if(pan(mid)) r=mid-1;
		else l=mid+1; 
	}
	if(pan(l)) return l;
	else return r; 
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++){
	    scanf("%d",&a[i]);
	    maxx=max(maxx,a[i]);
	    sum[i]=sum[i-1]+a[i];
	}
    int len=binary(),ans=0;
	
	for (int i=1;i<=n;i++)
    if (sum[i]<=len) f[i][0]=1;
    else break;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(sum[i]<=len) continue;
		for(int j=i-1;j>=0;j--)
		 	if(sum[i]-sum[j]>len){
		 		pos[i]=j+1;
				break; 
			}
	}
	int x=0;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			g[j][x]=g[j-1][x]+f[j][x];
		}
		x^=1;
		for(int j=1;j<=n;j++)
		f[j][x]=(g[j-1][x^1]-g[max(pos[j]-1,0)][x^1])%mod;
		
		(ans+=f[n][x])%=mod;
	}

	printf("%d %d\n",len,ans);
	return 0;
}