密码学：用例子和程序说明RSA算法过程

原文链接：http://blog.csdn.net/ddk3001/article/details/54585854

1 目的说明

本文用两个简单的例子说明RSA算法过程：
1、如何计算公钥和私钥？
2、如何对消息进行加密和解密？

这两个例子都可以用计算器进行验证，目的是了解RSA算法的基本过程。
本文不对RSA算法的严格描述和证明做深入解释，有兴趣的读者请看参考链接。

最后给出了一个实现RSA算法的C语言程序。

参考：
http://www.cnblogs.com/hykun/p/RSA.html
http://blog.csdn.net/sunmenggmail/article/details/11994013
http://www.360doc.com/content/14/0517/19/7385274_378568902.shtml

2 计算公钥和私钥

RSA算法：

1、选择两个质数p和q，计算：

• N = p * q
• r = (p-1)(q-1)

2、计算模反元素：

模反元素：如果两个正整数e和r互质，那么一定能找到整数d，使得 ed%r=1 ，即 (ed-1)%r=0，则称d为e的模反元素。

• 随机选择一个整数e ： 1 < e < r，且e与r互质
• 计算e关于模r的模反元素d ： (ed-1)/r=k 或 ed-kr=1（k为任意正整数）
• 将e和r的值代入，得到一个二元一次方程。对它求解，求得一组解（d和k）即可。

3、把 p 和 q 扔掉
4、公钥是 (N,e)，私钥是 (N,d)

【例1】

1、p = 3 , q = 11

• N = pq = 33
• r = (p-1)(q-1) = (3-1)(11-1) = 20

2、计算模反元素：

• r=20，选择e=3，得到二元一次方程：3d-20k=1
• 获得一组解：d=7，k=1

3、因此，公钥是 (N, e) = (33, 3)，私钥是 (N, d) = (33, 7)。

【例2】

1、p = 13 , q = 5

• N = pq = 65
• r = (p-1)(q-1) = (13-1)(5-1) = 48

2、计算模反元素：

• r=48，选择e=5，得到二元一次方程：5d-48k=1
• 获得一组解：d=29，k=3

3、因此，公钥是 (N, e) = (65, 5)，私钥是 (N, d) = (65, 29)。

3 加密消息

RSA算法：

• 公钥：(N，e)
• 明文转换：
  
  • 将消息m转换为一个整数n ( n < N )
  • 如果消息很长，则将消息分成多段，将每段转换为一个整数n ( n < N )
• 加密公式：c = (n^e)%N

明文转换的例子：
将明文中的每一个字转换为这个字的Unicode码，然后将这些Unicode码连在一起组成一个数字n。
反之，将n划分为Unicode码串，每个Unicode码还原为一个字，这样就得到了原来的明文。

【例1】

• 公钥： (N, e) = (33, 3)
• 明文：消息m转换为整数24
• 计算：c = (24^3)%33 = 30
• 因此：24被加密为30

【例2】

• 公钥： (N, e) = (65, 5)
• 明文：消息m转换为整数3
• 计算：c = (3^5)%65 = 48
• 因此：3被加密为48

4 解密消息

RSA算法：

• 私钥： (N，e)
• 解密公式：n = (c^d)%N
• 将整数n转换为消息m

【例1】

• 私钥： (N, d) = (65, 29)
• 密文：c=48
• 计算：n = (48^29)%65 = 3
• 因此：48被解密为3

【例2】

• 私钥是 (N, d) = (33, 7)
• 密文是：c=30
• 计算：n = (30^7)%33 = 24
• 这样，30被解密为24

5 一点说明

RSA算法使用两个素数p和q计算N=pq，然后再经过一些计算得到公钥(N,e)和私钥(N,d)。

根据RSA加解密公式，使用公钥加密后只能使用私钥解密，使用私钥加密后只能使用公钥解密。

因为公钥是公开的，如果能破解出私钥，就能够解密密文消息，而破解需要把N分解为两个素数p和q，如果p和q足够大，则很难分解，类似于单向函数。

6 编程实现

说明：此C语言程序非本人所写，网上找到的。

/*********************************************/
// RSA
/*********************************************/
#include

// 数据处理函数，实现幂的取余运算
int candp(int a, int b, int c) 
{
   int r = 1;
   b = b + 1;

   while(b != 1) 
   {
       r = r * a;
       r = r % c;
       b--;
   }

   printf("%d\n", r);
   return r;
}

// 公钥e与t的互素判断
int fun(int x, int y) 
{
   int t;
   while(y) 
   {
       t = x;
       x = y;
       y = t % y;
   }

   if(x == 1)
       return 0;    // x与y互素时返回0
   else
       return 1;    // x与y不互素时返回1
}

// 主函数  
int main( )
{
   int p, q, e, d, m, n, t, c, r;

   printf("请输入两个素数p,q:");
   scanf("%d%d", &p, &q);

   n= p * q;
   printf("计算得n为%3d\n", n);

   // 求n的欧拉数
   t= (p - 1) * (q - 1);  
   printf("计算得t为%3d\n", t);

   printf("请输入公钥e:");
   scanf("%d", &e);
   if(e < 1 || e > t || fun(e, t)) 
   {
      // e<1 或 e>t 或 e与t不互素时，重新输入
       printf("e不合要求，请重新输入:");
       scanf("%d", &e);
   }

   d= 1;
   // 由公钥e求出私钥d
   while(((e * d) % t) != 1)
       d++;             
   printf("经计算d为%d\n", d);

   // 加密或解密选择
   printf("加密请输入1\n");  
   printf("解密请输入2\n");
   scanf("%d", &r);

   switch( r ) 
   {
   case 1:
       printf("请输入明文m:");   // 输入要加密的明文数字
       scanf("%d", &m);
       c = candp(m, e, n);
       printf("密文为%d\n", c);
       break;

   case 2:
       printf("请输入密文c:");   // 输入要解密的密文数字
       scanf("%d", &c);
       m = candp(c, d, n);
       printf("明文为%d\n", m);
       break;

   default:
       ;
    }

   return 0;
}