学习笔记第十六节：斯特林数

正题

      百度：“

      在组合数学，Stirling数可指两类数，第一类Stirling数和第二类Stirling数，都是由18世纪数学家James Stirling提出的。

      ”

      其实就是两个东西：

      1.第一类斯特林数，表示把n个数放进不分种类的k个圆中的排列数。

      明显 的递推式是

      表示的是前n-1个排列成k-1个圆后，第n个自己成为一个独立的圆。

      表示的是前n-1个排列成k个园后，第n个插入到前n-1中任意一个的后面。

      这是很明显的.

      2.第二类斯特林数，表示把n个数放进不分种类的k个箱子中的排列数。（需要保证箱子非空）

      明

      解释和第一类斯特林数的差不多。

      不同点在于和。

      理解好就可以理解两种数。

      现在先讨论第二类斯特林数的性质和通项公式。

      首先有几个很特殊的性质：

      

      其实都很好理解：

      第一条和第二条很好懂，特别的，尽管这并不严谨。

      第三条就是只有两个箱子，把球放进去，每个球有两种选择，而每个状态会重复算两遍，再减去其中一个为空的状态，就是

      第四条很好懂。

      第五条考虑取出两个球，将它们放在同一个箱子，而剩下的球刚好放在剩下的箱子，所以就是。

      第六条考虑两种状态，第一种，一个箱子里面有3个球，第二种，两个箱子里面各有两个球。

      前者很明显，状态数是；后者先取出4个球，然后剩下的球放进剩下的箱子里面，这四个球有三种分配方法去放进2个箱子里面（因为箱子相同

      所以发现状态数等于。

      剩下的就是通项公式：

      

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      updata_19.5.13:

      发现证明并不需要那么麻烦，学了二项式反演之后，整个事情变得很简单：

      ，这个式子很显然，k枚举的是非空盒子数量，然后由于是，所以对盒子顺序有要求。

      接着把组合数系数化出来，。

      n不变，发现前面的式子的值跟m有关系，后面的值只跟k有关系。

      根据公式：。

      可以得到。

      移项，改变枚举对象可以得到：

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      证明如下：

      1.首先考虑将去掉，因为相当于箱子的去重，先给箱子标上号。

      2.其次考虑有h个空盒的状态一共有多少个？我们把它设为，那么个空盒的总和就等于，也等于，因为也是将每一个状态都算了一遍。

      3.考虑空盒时，我们需要计算的状态数。首先，先选出个空盒，其次，将n个小球放进个箱子里面，那么就一共有种情况。

      4.其中，一个空盒数为h的状态，一共被算了遍，因为相当于从h个空盒里面选出k个空盒，然后剩下的唯一状态。

      5.所以，。

      6.那么，加一个次方，可以得到：

      

      7.很明显可以发现，因为有标号而且全不为空。

      所以。

      变化一下就是：。

      证明说完了.

      现在说一下怎么快速求。

      递推公式很明显需要，但是可以发现它其实是满足FFT的、或者NTT的。

      因为

      

      所以设。

      ，所以用的时间就可以求出的每一项。