【题解】BZOJ 1040 [ZJOI2008] 骑士

传送门

Description D e s c r i p t i o n

在基环树上求解最大点独立集问题。

有点学术啊。那我先来解释一下吧。

基环树

基环树 顾名思义，就是基于一个环上的树，也就是一个树中有一个环。由于原题中把骑士看成结点，憎恨关系看成边之后就得到了一个有 n n 个结点， n n 条边的图，我们知道由 n n 个结点， n−1 n − 1 条边组成的连通图是一棵树。那么拥有 n n 个结点和 n n 条边的连通图就是一棵基环树。这样一来，原题的图就可以抽象成一个基环树森林。

最大点独立集

一个图的点独立集是原图总点集的一个子集，且点独立集中任意两个顶点均不相邻。简单点来说就是从图中挑点，所取的点两两不相邻。

图的最大点独立集就是顶点数最多的点独立集。

但是本题是带点权的，这样一来就要稍微更改一下定义，我们定义图的最大带权点独立集就是总权重（集合中所有点的权重的和）最大的点独立集。

Solution S o l u t i o n

假如这是个森林的话就很简单，就是 没有上司的舞会 。

这里面详细介绍了怎样解决树上的最大点独立集问题，这里就不再赘述。

但是带权的话，状态转移方程就要修改一下：

我们定义 d(i,0) d ( i , 0 ) 表示在以 i i 为根的子树中，不取 i i 所能达到的最大权重。

相应的， d(i,1) d ( i , 1 ) 表示以 i i 为根的子树中，取 i i 所能达到的最大权重。

d(u,0)=∑(u,v)∈Emax{d(v,1),d(v,0)}d(u,1)=∑(u,v)∈Ed(v,0) d ( u , 0 ) = ∑ ( u , v ) ∈ E m a x { d ( v , 1 ) , d ( v , 0 ) } d ( u , 1 ) = ∑ ( u , v ) ∈ E d ( v , 0 )

由于上面的转移方程是对付树的，基环树又是树的特殊变种（基环树不是树）。考虑怎样对基环树进行处理使之可以用上面的方法解决。

考虑到基环树删去环上的一条边就变成了一棵树（含有 n n 个结点及 n−1 n − 1 条边且保证连通）。

我们就可以设计出一个算法：找到这个基环树中的环，并找到其上任意一条边 (u,v) ( u , v ) （所有边的地位等同），然后把它“删掉”（在dp过程中不经过这条边），让它变成一棵树，接下来我们考虑添加这条边对结果的影响。

很显然，多了这条边， u u 和 v v 不可以同时选取，这样子就会有三种情况：

• 选 u u , 不选 v v
• 选 v v ，不选 u u
• 既不选 u u 也不选 v v

但是这样是很难处理的。我们可以考虑合并成两种情况：

• 不选 u u , v v 随意
• 不选 v v , u u 随意

这样就可以解决问题了。

我们在solve完 u u 结点之后，保存 p=d(u,0) p = d ( u , 0 ) ，再solve v v 结点，保存 q=d(v,0) q = d ( v , 0 ) 再取 max{p,q} max { p , q } 加入 Ans A n s 即可。这样一来就保证了 u u 和 v v 不会同时选中，也保证了解的最优性。

Code C o d e

#include
#include
#include
#include
#define MAXN 1000010
#define max(x, y) ((x) > (y) ? (x) : (y))
int value[MAXN], a, b;
long long f[MAXN][2];
struct edgeType {
    int to, next;
} edge[MAXN << 1];
int head[MAXN], vis[MAXN], n, s, x, y, cut;
void addEdge(int from, int to) {
    static int cnt = 0;
    edge[cnt] = (edgeType){to, head[from]};
    head[from] = cnt++;
}
void findCycle(int u, int p) {
    vis[u] = 1;
    for (int i = head[u]; ~i; i = edge[i].next) {
        if ((i ^ 1) == p) continue;
        int v = edge[i].to;
        if (vis[v]) {
            x = u, y = v;
            cut = i;
            continue;
        }
        findCycle(v, i);
    }
}
void solve(int u, int p) {
    f[u][0] = 0;
    f[u][1] = value[u];
    for (int i = head[u]; ~i; i = edge[i].next) {
        if ((i ^ 1) == p) continue;
        if (i == cut || (i ^ 1) == cut)
            continue;
        int v = edge[i].to;
        dfs(v, i);
        f[u][1] += f[v][0];
        f[u][0] += max(f[v][1], f[v][0]);
    }
}
int main() {
    memset(head, -1, sizeof head);
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d%d", &a, &b);
        addEdge(i, b);
        addEdge(b, i);
        value[i] = a;
    }
    long long ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (vis[i]) continue;
        findCycle(i, -2);
        solve(x, -1);
        long long temp = f[x][0];
        solve(y, -1);
        temp = max(temp, f[y][0]);
        ans += temp; 
    }
    printf("%lld", ans);
    return 0;
}