数据通信的理论基础

傅里叶分析

想在电线上传播信号，需要通过改变如电压，电流这样的电气表现来表示不同的信息。信息在计算机内通常以二进制形式表示，因此传输这些信息先要解决用交流电的变化特性来表示比特流的问题。
傅里叶用傅里叶变换证明了任何行为合理的周期为T的函数都可以表示为正弦函数和余弦函数组成的无穷级数：
$$g(t)=\frac{1}{2}c+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}sin(2\pi nft)+\sum _{n=1}^{\infty }{b}_{n}cos(2\pi nft)$$
其中，$f=\frac{1}{T}$是基本频率，$a_n$ 和$a_n$是$n$次谐波的正弦振幅和余弦振幅，$c$是常数。

图1

对于某个特定的比特串，如代表字符b的01100010（见图1），虽然这是一个有限时间的数据信号，但是我们可以想象有这么一个周期性函数$F$——它的一个周期内的函数值就是01100010，它的周期$T$就是传输这8位比特所需的时间。如此一来，比特串01100010所代表的信号就可以被看作是周期性函数$F$的一个基本单元。因此就可以利用傅里叶分析将这个周期性函数分解为一系列的正余弦函数的叠加。

此外，从傅里叶变换中我们可以看到，这一系列的正余弦波拥有不同的频率：随着$n$的增加，第$n$组正余弦波的频率 $f_n=\frac{\omega }{2\pi }=\frac{2\pi nf}{2\pi }=nf$ 也不断增加。

带宽有限的信号

用交流信号表示比特串

我们已经知道，可以将不同频率的交流信号叠加起来去表示一个比特串。但是从傅里叶级数中可以看出，想要完全还原出这个信号，需要叠加无穷多组正余弦波，这在现实中几乎是不可能的。事实上，只需要有限组的正余弦波就能大致还原出原来的比特串的“轮廓”，而在接收端通过采样后，可以通过采取一个标准来完全还原出发送端传出的比特串。所谓采取一个标准，大致可以理解为定一个标准$k$,将大于$k$的值认为是1,将小于$k$的值认为是0。

图2

图2展示了从使用1个谐波到使用8个谐波叠加所表示出的信号。可以发现，在（e）中，使用8个谐波足以大致还原出原本的比特串，这样的信号在接收端经过识别后能够完全还原，因此无需再用更多（同时也意味着频率更高）的谐波进行叠加。

使用谐波的数量

表面上看，使用尽可能多的谐波去叠加出一个更准确的信号似乎是一件好事。但事实并非如此，一方面既然一定数量的谐波已经足够让接收方还原比特串，这样的做法就没有必要；另一方面，用更多的谐波就意味着用频率更高的谐波，占用更高的带宽，浪费了信道资源。
至于说为什么浪费了信道资源，那是因为每种传输介质的物理性质决定了能够”高质量“通过该介质的信号的频率范围（所谓“高质量”即在通过传输介质时尽可能少地发生衰减）。这个频率范围就是传输介质的带宽。更多的谐波在频率范围上的分布更广，也就占用了更多的带宽。

带宽与数据率

带宽 和数据率 是紧密相关的，更大的数据率意味着发送单位比特的时间更短，即信号的周期$T$越短，基波的频率$f$越高，在信道中能发生的谐波数越少。如果目标数据率高到无法产生任何谐波，那么这样的数据率便是无法实现的。因此，可以说限制了带宽就限制了数据率。
正是因为带宽和比特率的紧密联系，带宽的词义常常引起混淆。实际上，带宽在电气工程和计算机科学中拥有不同的含义。在电气工程中，（模拟）带宽是以赫兹（$Hz$）来度量的，与最原始的带宽定义一致，表示的是频率范围。而在计算机科学中，人们更关注的是数据传输速率，因此（数字）带宽表示的是一个信道的最大数据速率，以每秒多少比特（$bps$）来度量。数据速率是数字传输过程中采用一个物理信道的模拟带宽所能获得的最终结果，两者关系密不可分。因此，应该根据具体语境来理解带宽 的含义。