自相关与互相关特性

自相关是对信号相关程度的一种度量，也就是说自相关可以看作是信号与自身的延迟信号相成后的乘积进行积分运算，随机信号的自相关函数与其功率谱是傅氏变换对（随机信号无法得到具体的函数表达式，只有其统计信息），通过对接受信号的自相关运算可以进行频谱分析。同时，自相关在信号检测中也有很重要的作用，是在误码最小原则下的最佳接收准则。

        互相关是统计学中用来表示两个随机矢量 X 和 Y 之间的协方差 cov(X, Y)，以与矢量 X 的“协方差”概念相区分，矢量 X 的“协方差”是 X 的各标量成分之间的协方差矩阵。
在信号处理领域中，互相关（有时也称为“互协方差”）是用来表示两个信号之间相似性的一个度量，通常通过与已知信号比较用于寻找未知信号中的特性。它是两个信号之间相对于时间的一个函数，有时也称为滑动点积，在模式识别以及密码分析学领域都有应用。
对于离散函数 fi 和 gi 来说，互相关定义为

其中和在整个可能的整数 j  区域取和，星号表示复共扼。对于连续信号 f (x) 和 g (x) 来说，互相关定义为

其中积分是在整个可能的 t 区域积分。
互相关实质上类似于两个函数的卷积。

        CDMA系统中,扩频序列的自相关和互相关特性对于系统性能具有重要的影响,扩频序列设计一直是该领域的核心研究课题。
        考虑伪随机码中的二元码(如m序列、Gold序列和M序列等）的地址码数量过少、相关性能改善已到达极限，日本学者suehiro为代表，提出了多相序列理论，可以更好地满足移动通信用户数量的增加和提高通信质量的要求。按照多相序列理论，可以构造更优的相关性能和更多的地址码数量。

        一般扩频序列的相关性    在CDMA 系统中，扩频序列的选取对整个系统的性能影响极大，它直接关系到系统的增益、抗干扰能力、多址容量等重要参数。理想情况下，CDMA 通信系统中使用的扩频序列集应具有如下相关特性: ①每个扩频序列的自相关函数应该是一个冲激函数，即除零时延外，其值应处处为0 ②每对扩频序列的互相关函数值应该处处为0。从物理意义上讲，使自相关函数逼近一个脉冲函数的主要目的是使我们能够很容易的将信号与它的移位信号区分开来，使互相关函数恒为零的目的是使我们能够很容易的将一个信号与另一信号或它的移位信号区分开来。近年来具有良好伪随机特性和相关特性扩频序列的研究引起了广泛关注。    最大长度线性移位寄存器序列（简称 m序列）是一类重要的伪随机序列，最早应用于扩频通信，也是目前研究得最深入的伪随机序列。周期为N 的m序列，码元宽度为幅值为+ 1 或- 1的矩形波信号，则m序列信号周期自相关函数是:
        从m 序列的自相关函数表达式可以看出，序列的长度N 越大，其自相关特性越接近白噪声的自相关特性(δ函数) ，即接近于零，这样，序列和其自身的时间偏移就很容易区分，这对扩频通信是十分有利的。m序列的性能非常接近理想的伪随机序列，有很好的自相关特性，且产生m 序列的方法简单易行，受到人们的重视和应用。但在CDMA 通信系统中，伪随机序列的互相关特性与自相关特性同样重要。理想情况的互相关特性是各用户的伪随机序列相互正交(互相关为零)，但同周期的不同m序列之间存在较大的互相关峰值，如果直接用不同的m序列作为扩频地址码来区分用户，则会产生很大的多址干扰，无法保证系统的通信质量。    Gold 序列具有优良的互相关特性，序列数远远多于ｍ序列，便于扩频多址应用。Gold 码是由两个码长相等，码时钟速率相同的m序列优选对模2和构成。每改变两个m序列相对位移就可得到一个新的Gold序列，当相对位移(2n-1)位时，就可得到一族( 2n -1)个Gold序列。再加上两个m序列，共有( 2n +1)个Gold序列码。Gold 码互相关值不超过优选对互相关值，具有三值互相关函数，其值为，(n为奇数)；  ，(n为偶数)；   。Gold 码之间具有上述三值互相关特性，验算一下可知，这些互相关值都大大低于自相关值且约有50 %～75 %以上的Gold码序列有最低的互相关函数值- 。这一特点说明， Gold 码序列适用于码分多址。采用Gold 码族作地址码，其地址数大大超过了用 m序列作地址码的数量，所以Gold 序列在多址技术中得到了广泛的应用。