长沙理工大学第十三届程序设计竞赛--Dzzq的离散数学教室1

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64bit IO Format: %lld

题目描述

    离散数学中有种名叫“哈斯图”的东西。

    在这题中，你们需要计算的是一些正整数在偏序关系“整除”下的哈斯图的边数。用大白话讲，在偏序关系“整除”下的哈斯图，就是把一个个正整数看成一个个图的节点，某些节点之间有边。连边的规则是这样的：对于任意两个正整数a和b(a

    现在问题是，给你们2个数L，R(1<=L,R<=1e6)。求由L，L+1，L+2...R这R-L+1个正整数在偏序关系“整除”下的哈斯图的边数。

    比如L=1，R=4,节点的组合有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)。组合（1,2），（1,3），（2,4）可以连边。（1,4）因为中间存在c=2，不符合连边条件。所以当L=1，R=4的时候，这个哈斯图有3条边。

输入描述:

多组输入，不超过1000组数据
每组数据一行，包含2个正整数L和R，中间由空格分开。

输出描述:

每组数据输出一行，包含一个整数表示哈斯图的边数。

示例1

输入

1 4
4 10
1 10

输出

3
2
11

根据题意，能连边的条件是：

(1)b为a的倍数。

(2)b ！= k1 * c , c ！= k2 * a 同时成立，消去c，即 b！= （k1*k2）a = k*a      [k1,k2为任意大于1的正整数)] 。

    要使得不存在这样一个c, 则不能存在k1，k2使得b是a的k1*k2倍，故能推出k1*k2是一个素数， 因为素数除了1和本身就不能拆分出其它两个因子k1与k2，使得乘积等于本身了。

综合上述分析，b只能是a的素数倍。

例如：

a = 1, b = 2时，倍数为2，是素数倍，此时k= 2，k1 ,k2只能为1和2，但找不出整数c使得 b = k1*c，c = k2 *a同时成立，此种情况可以连边。

a =1, b=3时，倍数为3，是素数倍，此时k= 3，k1 ,k2只能为1和3，但找不出整数c使得 b = k1*c，c = k2 *a同时成立，此种情况可以连边。

a = 1, b = 4时，倍数为4，非素数倍, 此时k = 4，能找出k1 = 2，k2 = 2 ,（此时 c=2） 来使得 b = k1*c，c = k2 *a 同时成立，此种情况便不能连边。

因此，本题的题目就转换成了在 [ L，R ] 区间中寻找a和b（b>a），并且b = P*a （P是素数,有2，3，5，7，11，13...）情况数。

因此，只需要依据p从小到大进行遍历存在L<=a

 按照这个思路，我们来解 样例[1,10] （即 L=1，R=10）

当P = 2时，(a, b) = {(1,2), (2,4), (3,6), (4,8), (5,10)}       R/ P - L +1 = 5个。

当P = 3时，(a, b) = {(1, 3), (2, 6), (3,9)}            R/ P - L +1 = 3个。

当P = 5时，(a, b) = {(1, 5), (2,10)}         R/ P - L +1= 2个。

当P = 7时，(a, b) = {(1,7)}         R/ P - L +1 =1个。

当P = 11时，P都大于R了，显然后面都不会存在了。

因此 答案是 5+3+2+1 = 11.

对于在P确定时，求该种情况下的个数t时，t = (R / P) - （L - 1）是这样来的: 当R/P>=L时，就是能连边的条件。例如样例[4,10]，P = 2时，a = 1，2，3，4，5（有5个能连边），但a要大于等于左边界，故a只能取4和5，即剔除了比L小的情况。这就是计算a在[1,10]中的个数R/P，再剔除掉a在[1，3]范围内的个数（L-1）。

代码如下：

#include 

using namespace std;

int ans,l,r,p[1000010];
bool boo[1000010];


int main()
{
    //预处理求出1e6内的素数
    for (int i = 2  ; i <= 1000000; i ++)
        if (!boo[i])
        for (int j = i+i; j <= 1000000; j += i)
            boo[j] = true;


    for (int i = 2 ; i <= 1000000; i ++)
        if (!boo[i])
            p[++ p[0]] = i;
    // p[i] 储存的是第i个素数 ，p[0]储存的是总共的素数个数


    for ( ; scanf("%d%d",&l,&r) != EOF; ){
        ans = 0;
        int t;//遍历每个素数情况下的个数，如p = 2时，t=5
        for (int i = 1; i <= p[0]; i ++){
            int t = r/p[i];
            if (t >= l) {
                    ans += t-l+1;
            }
            // 最大可除数字减去左界就是当前质数的可被除的数量
            else break;
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}