初等证明：等价拆分函数

题：
命题$1$：$p(n|$偶数部分无重复$)$ $=$ $p(n|$各部分无重复$3$次以上$)$ $=$ $p_{(4\nmid k)}(n)$
命题$2$：$p(n|$各部分无重复$d-1$次以上$)$ $=$ $p_{(d\nmid k)}(n)$
(摘自《初等数论及其应用第六版》7.4节拆分函数习题)

前言：这里使用母函数证明，需要格外注意母函数是无穷的，所以乘积可实现化简，
对于命题$1$第一步先写出各个拆分函数的母函数，然后通过化简第二个到第一个，之后直接证明命题$2$即可

证：
$\because$ 偶数部分无重复，因此对于任意$i$，只能有一个$x^{2i}$和无穷个的$x^{2i-1}$

$\therefore p(n|$偶数部分无重复$)$ $=$ ${\prod }_{i=1}^{\infty }\frac{1+x^{2i}}{1-x^{2i-1}}$

$\because p(n|$各部分无重复$3$次以上$)={\prod }_{i=1}^{\infty }(1+x^i+x^{2i}+x^{3i})$

$={\prod }_{i=1}^{\infty }\frac{1-x^{4i}}{1-x^i}$

$={\prod }_{i=1}^{\infty }\frac{(1-x^{4i})(1+x^i)}{1-x^{2i}}$ 即分子分母同乘$(1+x^i)$

$={\prod }_{i=1}^{\infty }(1+x^{2i})(1+x^i)$ 因为$1-x^{4i}=(1-x^{2i})(1+x^{2i})$

$={\prod }_{i=1}^{\infty }\frac{(1+x^{2i})(1-x^{2i})}{1-x^i}$ 因为$1+x^i=\frac{1-x^{2i}}{1-x^i}$

$=\frac{(1+x^2)(1-x^2)}{1-x}\ast \frac{(1+x^4)(1-x^4)}{1-x^2}\ast ...$

$={\prod }_{i=1}^{\infty }\frac{1+x^{2i}}{1-x^{2i-1}}$

$\therefore p(n|$偶数部分无重复$)=p(n|$各部分无重复$3$次以上$)$

$\because p(n|$各部分无重复$d-1$次以上$)$

$={\prod }_{i=1}^{\infty }{\sum }_{j=0}^{d-1}{x}^{ji}$

$={\prod }_{i=1}^{\infty }\frac{1-x^{di}}{1-x^i}$

$=\frac{1-x^d}{1-x}\ast \frac{1-x^{2d}}{1-x^2}\ast ...$

$=\frac{1}{1-x}\ast \frac{1}{1-x^2}\ast ...\ast \frac{1}{1-x^{d-1}}\ast ...$ 即消去分子分母中$d$的倍数项

$={\prod }_{i=1\bigwedge d\nmid i}^{\infty }\frac{1}{1-x^i}$

$=p_{(d\nmid k)}(n)$

$\therefore p(n|$各部分无重复$d-1$次以上$)$ $=$ $p_{(d\nmid k)}(n)$$

证毕。

后话：题目虽不难，但是母函数的思想却非常的奇妙，不得不佩服前人之伟岸