Codeforces449D - Jzzhu and Numbers - 容斥、状压dp

D. Jzzhu and Numbers

题意： 给出数列 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$，询问有多少个子序列满足 $a_{i_1}\&a_{i_2}\&\cdots \&a_{i_k}=0$，答案取模 $10^9+7$。

• $1\le n\le 10^6$
• $0\le a_i\le 10^6$

题解： 非常美妙的容斥解法。二进制考虑这个问题，设 $f[i]$ 表示取子序列使得它们与操作后至少有 $i$ 个 $1$ 的方案数，那么答案就是对 $f$ 进行容斥的结果（$f[0]-f[1]+f[2]-\cdots +f[20]$）！然后思考如何求 $f$。设 $g[s]$ 表示取子序列使得它们与操作后至少包含状态 $s$ 的整数 $a_i$ 个数（注意到 $g[s]$ 不会超过 $n$），那么对于每个 $g[s]$，假设状态 $s$ 有 $i$ 个 $1$，那么它也应该贡献到 $f[i]$ 上，因为不管怎么取 $s$ 的子序列，对它们进行与操作之后也至少有 $i$ 个 $1$，容易发现它的贡献就是非空子集数目，即 $2^{g[s]}-1$。接下来问题变成了如何求 $g[s]$。这其实是个经典的动态规划问题，$g[s]=\sum _{t\&s=s}g[t]$，具体做法是按位转移，依次从 $s$ 递推到 $s\oplus 2^i$，这样可以 $O(20\cdot \text{max}\{a_i\})$ 做到不重而且不漏地计算。

当然如果计算出了 $g[s]$，直接对 $g$ 进行容斥也能得到答案，即讨论 $g[s]$ 中 $s$ 的 $1$ 的个数，讨论正负号，这个和上面做法的等价的。

代码：

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1e9 + 7;
const int max_n = 1e6 + 5;
int dp[max_n];
ll f[21], b[max_n];
int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    memset(dp, 0, sizeof dp);
    int mx = 0;
    b[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) b[i] = (b[i-1] << 1) % mod;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int a_i;
        scanf("%d", &a_i);
        mx = max(mx, a_i);
        dp[a_i]++;
    }
    for (int j = 0; j <= 20; j++) {
        for (int i = 1; i <= mx; i++) if (dp[i]) {
            if (i & (1 << j)) {
                dp[i^(1<