huffman编码解码与huffman树

定义：给定n个权值作为n个叶子结点，构造一棵二叉树，若带权路径长度达到最小，称这样的二叉树为最优二叉树，也称为哈夫曼树(Huffman Tree)。哈夫曼树是带权路径长度最短的树，权值较大的结点离根较近。

构建huffman树：

• 1.根据给定的n个权值{w1,w2,…,wn}构成二叉树集合F={T1,T2,…,Tn},其中每棵二叉树Ti中只有一个带权为wi的根结点,其左右子树为空.
• 2.在F中选取两棵根结点权值最小的树作为左右子树构造一棵新的二叉树,且置新的二叉树的根结点的权值为左右子树根结点的权值之和.
• 3.在F中删除这两棵树,同时将新的二叉树加入F中.
• 4.重复2、3,直到F只含有一棵树为止.(得到哈夫曼树)

关于huffman树有以下几点要注意的：

• 1、满二叉树不一定是哈夫曼树
• 2、哈夫曼树中权越大的叶子离根越近 （很好理解，WPL最小的二叉树）
• 3、具有相同带权结点的哈夫曼树不惟一
• 4、哈夫曼树的结点的度数为 0 或 2， 没有度为 1 的结点。
• 5、包含 n 个叶子结点的哈夫曼树中共有 2n – 1 个结点。
• 6、包含 n 棵树的森林要经过 n–1 次合并才能形成哈夫曼树，共产生 n–1 个新结点

根据huffman树得到字符编码：
从huffman树的根节点开始，向左为0，向右为1，直到遇见野子节点，记录下沿途的编码即可
解码/译码：
对于给定的二进制码串，想要解码出字符：从哈夫曼树根开始，对待译码电文逐位取码。若编码是“0”，则向左走；若编码是“1”，则向右走，一旦到达叶子结点，则译出一个字符；再重新从根出发，直到电文结束。
下面附一份c语言版的huffman编码实现：

//haffman 树的结构
typedef struct
{
    //叶子结点权值
    unsigned int weight;
    //指向双亲，和孩子结点的指针
    unsigned int parent;
    unsigned int lChild;
    unsigned int rChild;
} Node, *HuffmanTree;

//动态分配数组，存储哈夫曼编码
typedef char *HuffmanCode;

//选择两个parent为0，且weight最小的结点s1和s2的方法实现
//n 为叶子结点的总数，s1和 s2两个指针参数指向要选取出来的两个权值最小的结点
void select(HuffmanTree *huffmanTree, int n, int *s1, int *s2)
{
    //标记 i
    int i = 0;
    //记录最小权值
    int min;
    //遍历全部结点，找出单节点
    for(i = 1; i <= n; i++)
    {
        //如果此结点的父亲没有，那么把结点号赋值给 min，跳出循环
        if((*huffmanTree)[i].parent == 0)
        {
            min = i;
            break;
        }
    }
    //继续遍历全部结点，找出权值最小的单节点
    for(i = 1; i <= n; i++)
    {
        //如果此结点的父亲为空，则进入 if
        if((*huffmanTree)[i].parent == 0)
        {
            //如果此结点的权值比 min 结点的权值小，那么更新 min 结点，否则就是最开始的 min
            if((*huffmanTree)[i].weight < (*huffmanTree)[min].weight)
            {
               min = i;
            }
        }
    }
    //找到了最小权值的结点，s1指向
    *s1 = min;
    //遍历全部结点
    for(i = 1; i <= n; i++)
    {
        //找出下一个单节点，且没有被 s1指向，那么i 赋值给 min，跳出循环
        if((*huffmanTree)[i].parent == 0 && i != (*s1))
        {
            min = i;
            break;
        }
    }
    //继续遍历全部结点，找到权值最小的那一个
    for(i = 1; i <= n; i++)
    {
        if((*huffmanTree)[i].parent == 0 && i != (*s1))
        {
            //如果此结点的权值比 min 结点的权值小，那么更新 min 结点，否则就是最开始的 min
            if((*huffmanTree)[i].weight < (*huffmanTree)[min].weight)
            {
               min = i;
            }
        }
    }
    //s2指针指向第二个权值最小的叶子结点
    *s2 = min;
}

//创建哈夫曼树并求哈夫曼编码的算法如下，w数组存放已知的n个权值
void createHuffmanTree(HuffmanTree *huffmanTree, int w[], int n)
{
    //m 为哈夫曼树总共的结点数，n 为叶子结点数
    int m = 2 * n - 1;
    //s1 和 s2 为两个当前结点里，要选取的最小权值的结点
    int s1;
    int s2;
    //标记
    int i;
    // 创建哈夫曼树的结点所需的空间，m+1，代表其中包含一个头结点
    *huffmanTree = (HuffmanTree)malloc((m + 1) * sizeof(Node));
    //1--n号存放叶子结点，初始化叶子结点，结构数组来初始化每个叶子结点，初始的时候看做一个个单个结点的二叉树
    for(i = 1; i <= n; i++)
    {

        //其中叶子结点的权值是 w【n】数组来保存
        (*huffmanTree)[i].weight = w[i];
        //初始化叶子结点（单个结点二叉树）的孩子和双亲，单个结点，也就是没有孩子和双亲，==0
        (*huffmanTree)[i].lChild = 0;
        (*huffmanTree)[i].parent = 0;
        (*huffmanTree)[i].rChild = 0;
    }// end of for
    //非叶子结点的初始化
    for(i = n + 1; i <= m; i++)
    {
        (*huffmanTree)[i].weight = 0;
        (*huffmanTree)[i].lChild = 0;
        (*huffmanTree)[i].parent = 0;
        (*huffmanTree)[i].rChild = 0;
    }

    printf("\n HuffmanTree: \n");
    //创建非叶子结点，建哈夫曼树
    for(i = n + 1; i <= m; i++)
    {
        //在(*huffmanTree)[1]~(*huffmanTree)[i-1]的范围内选择两个parent为0
        //且weight最小的结点，其序号分别赋值给s1、s2
        select(huffmanTree, i-1, &s1, &s2);
        //选出的两个权值最小的叶子结点，组成一个新的二叉树，根为 i 结点
        (*huffmanTree)[s1].parent = i;
        (*huffmanTree)[s2].parent = i;
        (*huffmanTree)[i].lChild = s1;
        (*huffmanTree)[i].rChild = s2;
        //新的结点 i 的权值
        (*huffmanTree)[i].weight = (*huffmanTree)[s1].weight + (*huffmanTree)[s2].weight;

        printf("%d (%d, %d)\n", (*huffmanTree)[i].weight, (*huffmanTree)[s1].weight, (*huffmanTree)[s2].weight);
    }

    printf("\n");
}

//哈夫曼树建立完毕，从 n 个叶子结点到根，逆向求每个叶子结点对应的哈夫曼编码
void creatHuffmanCode(HuffmanTree *huffmanTree, HuffmanCode *huffmanCode, int n)
{
    //指示biaoji
    int i;
    //编码的起始指针
    int start;
    //指向当前结点的父节点
    int p;
    //遍历 n 个叶子结点的指示标记 c
    unsigned int c;
    //分配n个编码的头指针
    huffmanCode=(HuffmanCode *)malloc((n+1) * sizeof(char *));
    //分配求当前编码的工作空间
    char *cd = (char *)malloc(n * sizeof(char));
    //从右向左逐位存放编码，首先存放编码结束符
    cd[n-1] = '\0';
    //求n个叶子结点对应的哈夫曼编码
    for(i = 1; i <= n; i++)
    {
        //初始化编码起始指针
        start = n - 1;
        //从叶子到根结点求编码
        for(c = i, p = (*huffmanTree)[i].parent; p != 0; c = p, p = (*huffmanTree)[p].parent)
        {
            if( (*huffmanTree)[p].lChild == c)
            {
                //从右到左的顺序编码入数组内
                 cd[--start] = '0';  //左分支标0
            }
            else
            {
                cd[--start] = '1';  //右分支标1
            }
        }// end of for
        //为第i个编码分配空间
        huffmanCode[i] = (char *)malloc((n - start) * sizeof(char));

        strcpy(huffmanCode[i], &cd[start]);
    }

    free(cd);
    //打印编码序列
    for(i = 1; i <= n; i++)
    {
         printf("HuffmanCode of %3d is %s\n", (*huffmanTree)[i].weight, huffmanCode[i]);
    }

    printf("\n");
}

int main(void)
{
    HuffmanTree HT;
    HuffmanCode HC;
    int *w,i,n,wei,m;

    printf("\nn = " );

    scanf("%d",&n);

    w=(int *)malloc((n+1)*sizeof(int));

    printf("\ninput the %d element's weight:\n",n);

    for(i=1; i<=n; i++)
    {
        printf("%d: ",i);
        fflush(stdin);
        scanf("%d",&wei);
        w[i]=wei;
    }

    createHuffmanTree(&HT, w, n);
    creatHuffmanCode(&HT,&HC,n);

    return 0;
}

由于哈夫曼树中没有度为1的结点，则一棵有n个叶子的哈夫曼树共有2×n-1个结点，所以用一个大小为2×n-1 的一维数组存放哈夫曼树的各个结点。 由于每个结点同时还包含其双亲信息和孩子结点的信息，所以构成一个静态三叉链表。