【概率+生成函数+NTT+启发式合并】LOJ2541 PKUWC2018 猎人杀
【题目】
原题地址
有 n n n个人，每个人有一个权 w i w_i wi，进行 n − 1 n-1 n−1轮游戏，每一轮，第 k k k个人被和谐的概率为 w k ∑ i ∈ 当 前 没 被 和 谐 的 人 w i \frac {w_k} {\sum_{i\in 当前没被和谐的人}w_i} ∑i∈当前没被和谐的人wiwk(要求第 k k k个人没有被和谐)。求 1 1 1号是最后一个被和谐的概率。 1 ≤ n , w i ≤ 1 0 5 , ∑ w i ≤ 1 0 5 1\leq n,w_i\leq 10^5,\sum w_i \leq 10^5 1≤n,wi≤105,∑wi≤105
【解题思路】
这是一道好题！
对于原问题我们很难直接算出答案，于是可以考虑容斥，我们要容斥的就是有一些人在 1 1 1之后和谐的概率。
设 S S S为人的集合， p ( S ) p(S) p(S)为 S S S这个集合中所有人都在 1 1 1之后和谐的概率，那么我们有：
a n s = ∑ ( − 1 ) ∣ S ∣ p ( S ) ans=\sum (-1)^{|S|}p(S) ans=∑(−1)∣S∣p(S)
这个问题依旧很难解决，下面一步转化是我认为这道题目的精髓所在：
原问题是和谐一个人后就将一个人 w i w_i wi的贡献去掉，现在我们和谐一个人后不去掉他，每次当我们和谐一个已经被和谐过了的人，我们当作一次“滑稽”，即我们再重新和谐一次，这样做与原问题实际上是等价的，可以进行简单证明：
设 W = ∑ i = 1 n w i , A = ∑ i ∈ 已 经 被 和 谐 的 人 w i W=\sum_{i=1}^n w_i,A=\sum_{i\in 已经被和谐的人}w_i W=∑i=1nwi,A=∑i∈已经被和谐的人wi。
那么第 i i i个人是下一个和谐的概率 p i p_i pi在原问题中应该是 w i W − A \frac {w_i} {W-A} W−Awi。
在转化后的问题中应该是 p i = A W p i + w i W p_i=\frac A W p_i+\frac {w_i} W pi=WApi+Wwi(和谐到已和谐的再和谐一次，或者和谐这个人)。化简以后等于上面那个柿子。
下面要求 p ( S ) p(S) p(S)，我们设 s u m ( S ) = ∑ i ∈ S w i sum(S)=\sum_{i\in S}w_i sum(S)=∑i∈Swi。
p ( S ) = ∑ i = 0 ∞ ( 1 − w 1 + s u m ( S ) W ) i w 1 W = w 1 W ∑ i = 0 ∞ ( 1 − w 1 + s u m ( S ) W ) i = w 1 W × W w 1 + s u m ( S ) = w 1 w 1 + s u m ( S ) \begin{aligned} p(S) = & \sum_{i=0}^{\infty} (1-\frac {w_1+sum(S)} W)^i \frac {w_1} W \\ = &\frac {w_1} W \sum_{i=0}^{\infty} (1-\frac {w_1+sum(S)} W)^i \\ = & \frac {w_1} W \times \frac W {w_1 +sum(S)}\\ = & \frac {w_1} {w_1+sum(S)} \end{aligned} p(S)====i=0∑∞(1−Ww1+sum(S))iWw1Ww1i=0∑∞(1−Ww1+sum(S))iWw1×w1+sum(S)Ww1+sum(S)w1
上面的第一步的意思就是前 i i i轮 1 1 1和 S S S都没死，第 i + 1 i+1 i+1轮 1 1 1死了。
第三步无穷级数求和是因为 0 < 1 − w 1 + s u m ( S ) W < 1 0<1-\frac {w_1+sum(S)} W <1 0<1−Ww1+sum(S)<1，因此这是一个收敛的无穷级数。根据经验我们有 ∑ i = 0 ∞ x i = 1 1 − x \sum_{i=0}^{\infty} x^i=\frac 1 {1-x} ∑i=0∞xi=1−x1，可以得到上面的柿子。
那么现在
a n s = ∑ ( − 1 ) ∣ S ∣ w 1 w 1 + s u m ( S ) ans=\sum (-1)^{|S|} \frac {w_1} {w_1+sum(S)} ans=∑(−1)∣S∣w1+sum(S)w1
其中这个 w 1 w_1 w1是可以提到求和符号外面的。
直接算显然还是不行的，观察到 W W W很小，我们可以构造一个生成函数 f ( x ) f(x) f(x)，使得 f ( x ) f(x) f(x)的 i i i次项系数是分母为 i i i时的贡献系数。
观察到每多一个人，贡献系数要乘上 − 1 -1 −1， 1 1 1必须要贡献，除 1 1 1以外所有人可以选则贡献或不贡献，这个形式就类似二项式。于是我们有：
f ( x ) = x w 1 ∏ i = 2 n ( 1 − x w i ) f(x)=x^{w_1}\prod^n_{i=2} (1-x^{w_i}) f(x)=xw1i=2∏n(1−xwi)
我们现在要做的就是将若干个多项式乘起来，可以用堆来维护多项式大小进行启发式合并， N T T NTT NTT来优化多项式乘法。
时间复杂度 O ( W ⋅ log 2 W ) O(W\cdot \log^2W) O(W⋅log2W)
【参考代码】
#include【总结】
这个概率问题的转化和这个生成函数的构造都是很妙的啊！