BZOJ1101 POI2007 Zap 【莫比乌斯反演】

BZOJ1101 POI2007 Zap

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Description

　　FGD正在破解一段密码，他需要回答很多类似的问题：对于给定的整数a,b和d，有多少正整数对x,y，满足x<=a，y<=b，并且gcd(x,y)=d。作为FGD的同学，FGD希望得到你的帮助。

Input

　　第一行包含一个正整数n，表示一共有n组询问。（1<=n<= 50000）接下来n行，每行表示一个询问，每行三个正整数，分别为a,b,d。（1<=d<=a,b<=50000）

Output

　　对于每组询问，输出到输出文件zap.out一个正整数，表示满足条件的整数对数。

Sample Input

2
4 5 2
6 4 3

Sample Output

3
2
//对于第一组询问，满足条件的整数对有(2,2)，（2,4），（4，2）。对于第二组询问，满足条件的整数对有（6,3），（3,3）。

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套路莫比乌斯反演

ans=∑ai=1∑bj=1[gcd(i,j)==d] a n s = ∑ i = 1 a ∑ j = 1 b [ g c d ( i , j ) == d ]

除以d，用 a1 a 1 代替 ⌊ad⌋ ⌊ a d ⌋ ,用用 b1 b 1 代替 ⌊bd⌋ ⌊ b d ⌋ ,得到：

ans=∑a1i=1∑b1j=1[gcd(i,j)==1] a n s = ∑ i = 1 a 1 ∑ j = 1 b 1 [ g c d ( i , j ) == 1 ]

把 [gcd(i,j)==1] [ g c d ( i , j ) == 1 ] 换一下：

ans=∑a1i=1∑b1j=1∑p|gcd(i,j)μ(p) a n s = ∑ i = 1 a 1 ∑ j = 1 b 1 ∑ p | g c d ( i , j ) μ ( p )

ans=∑a1i=1∑b1j=1∑p|i,p|jμ(p) a n s = ∑ i = 1 a 1 ∑ j = 1 b 1 ∑ p | i , p | j μ ( p )

把P的枚举提到前面：

ans=∑min(a1,b1)p=1μ(p)⌊a1p⌋⌊b1p⌋ a n s = ∑ p = 1 m i n ( a 1 , b 1 ) μ ( p ) ⌊ a 1 p ⌋ ⌊ b 1 p ⌋

然后以处理一下 μ μ 的前缀和，再下底函数分块计算一下

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#include
using namespace std;
#define N 500010
int T,a,b,d,tot=0;
bool mark[N]={0};
int pri[N],mu[N],F[N]={0};
void init(){
    mu[1]=1;
    for(int i=2;iif(!mark[i])pri[++tot]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=tot&&pri[j]*i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0){
                mu[i*pri[j]]=0;
                break;
            }else mu[i*pri[j]]=-mu[i];
        }
    }
    for(int i=1;i1]+mu[i];
}
int main(){
    init();
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&d);
        a/=d;b/=d;
        int ans=0,up=min(a,b);
        for(int i=1,j;i<=up;i=j+1){
            j=min(a/(a/i),b/(b/i));
            ans+=(F[j]-F[i-1])*(a/i)*(b/i);
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}