ZCMU - 2004: HEX

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题目大意：给出一个类似杨辉三角的菱形，求给定坐标的数值是多少。不难看出，每一个位置的数字就是（左上，右上，正上）这三个数的和。

解题思路：
从（1,1）走到（A,B）一共有多少总方案。
可以左下走（1,0），正下走（2,1），右下走（1,1）。

假设左下走了 x 次，正下走 y 次，右下走 z 次。则得到方程：
（1,1）+ x*（1,0）+ y*（2,1）+ z*（1,1）==（a,b）
求得：
 x + 2*y + z == a - 1;
 y + z == b - 1; 
再得：
x+y=a-b; y+z=b-1; （ y<=min(a-b,b-1) ）枚举y。

那么左下走了 x 次，正下走 y 次，右下走 z 次这样的走法有多少总方案，其实就是一个组合数。
在（x+y+z）中选出 x 次走左下那么就是C（x+y+z,x），在剩下的（y+z）中选出 y 次走正下就是C（y+z，y），最后剩下的就是走 z 次右下C（z,z）==1。
所以方案数就是C（x+y+z,x）* C（y+z,y）==(x+y+z)!/(x!*y!*z!)==(a-y-1)!/((a-b-y)!*y!*(b-y-1)!)。然后枚举 y 全部加起来，结果再乘法逆元下即可。

AC 代码

#include
#include

#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof a)
#define INF 0x3f3f3f3f

using namespace std;

typedef long long ll;
const ll mod=1000000007;
ll arr[100100],qrr[100100];

ll qpow(ll a)
{
    ll b=mod-2,ans=1; a%=mod;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=ans*a%mod;
        b>>=1;
        a=a*a%mod;
    }
    return ans;
}

void init()
{
    arr[0]=qrr[0]=1;
    for(int i=1;i<100100;i++) arr[i]=arr[i-1]*i%mod;
    for(int i=1;i<100100;i++) qrr[i]=qpow(arr[i]);
}

int main()
{
    init();
    ll a,b;
    while(~scanf("%lld%lld",&a,&b))
    {
        ll ta=a-b, tb=b-1, minn=min(ta,tb), ans=0;
        for(ll y=0; y<=minn; y++)
            ans=(ans+arr[a-y-1]*qrr[y]%mod*qrr[a-b-y]%mod*qrr[b-1-y]%mod)%mod;
        printf("%lld\n",ans);
    }

    return 0;
}