图的m着色问题

  问题描述

       给定无向连通图G和m种不同的颜色。用这些颜色为图G的各顶点着色，每个顶点着一种颜色。是否有一种着色法使G中每条边的2个顶点着不同颜色。这个问题是图的m可着色判定问题。若一个图最少需要m种颜色才能使图中每条边连接的2个顶点着不同颜色，则称这个数m为该图的色数。求一个图的色数m的问题称为图的m可着色优化问题。

     四色猜想：四色问题是m图着色问题的一个特例，根据四色原理，证明平面或球面上的任何地图的所有区域都至多可用四种、颜色来着色，并使任何两个有一段公共边界的相邻区域没有相同的颜色。这个问题可转换成对一平面图的４－着色判定问题(平面图是一个能画于平面上而边无任何交叉的图)。将地图的每个区域变成一个结点，若两个区域相邻，则相应的结点用一条边连接起来。多年来，虽然已证明用5种颜色足以对任一幅地图着色，但是一直找不到一定要求多于4种颜色的地图。直到1976年这个问题才由爱普尔，黑肯和考西利用电子计算机的帮助得以解决。他们证明了4种颜色足以对任何地图着色。

     算法设计

     考虑所有的图，讨论在至多使用m种颜色的情况下，可对一给定的图着色的所有不同方法。通过回溯的方法，不断的为每一个节点着色，在前面n-1个节点都合法的着色之后，开始对第n个节点进行着色，这时候枚举可用的m个颜色，通过和第n个节点相邻的节点的颜色，来判断这个颜色是否合法，如果找到那么一种颜色使得第n个节点能够着色，那么说明m种颜色的方案是可行的。

     用m种颜色为无向图G=(V,E)着色，其中，V的顶点个数为n，可以用一个n元组x=(x1,x2,…,xn)来描述图的一种可能着色，其中，xi∈{1, 2, …, m}，(1≤i≤n)表示赋予顶点i的颜色。例如，5元组(1, 2, 2, 3, 1)表示对具有5个顶点的无向图（a）的一种着色，顶点A着颜色1，顶点B着颜色2，顶点C着颜色2，如此等等。如果在n元组X中，所有相邻顶点都不会着相同颜色，就称此n元组为可行解，否则为无效解。容易看出，每个顶点可着颜色有m种选择，n个顶点就有mn种不同的着色方案，问题的解空间是一棵高度为n的完全m叉树，这里树高度的定义为从根节点到叶子节点的路径的长度。每个分支结点，都有m个儿子结点。最底层有mn个叶子结点。例如，表示用3种颜色为3个顶点的图着色的状态空间树。如图所示，对第i（i>=1）层上的每个顶点，从其父节点到该节点的边上的标号表示顶点i着色的颜色编号。

#include
#include
#include
#include


using namespace std;


const int N = 5;//图的顶点数
const int M = 3;//色彩数
class Color
{
    friend int mColoring(int, int, int **);
private:
    bool Ok(int k);
    void Backtrack(int t);
    int n,      //图的顶点数
        m,      //可用的颜色数
        **a,    //图的邻接矩阵
        *x;     //当前解
    long sum;   //当前已找到的可m着色方案数
};
int mColoring(int n,int m,int **a);
int main()
{
    int **a = new int *[N+1];
    for(int i=1; i<=N; i++)
    {
        a[i] = new int[N+1];
    }


    cout<<"请输入图G的邻接矩阵:"<     for(int i=1; i<=N; i++)
    {
        for(int j=1; j<=N; j++)
        {
            cin>>a[i][j];


        }
        cout<     }
    cout<<"图G的着色方案如下："<     cout<<"当m="<     for(int i=1; i<=N; i++)
    {
        delete[] a[i];
    }
    delete []a;
}


void Color::Backtrack(int t)
{
    if (t>n)
    {
        sum++;
        for (int i=1; i<=n; i++)
            cout << x[i] << " ";
        cout << endl;
    }
    else
    {
        for (int i=1; i<=m; i++)
        {
            x[t]=i;
            if (Ok(t)) Backtrack(t+1);
            x[t]=0;
        }
    }
}


bool Color::Ok(int k)// 检查颜色可用性
{
    for (int j=1; j<=n; j++)
    {
        if ((a[k][j]==1)&&(x[j]==x[k])) //相邻且颜色相同
        {
            return false;
        }
    }
    return true;
}


int mColoring(int n,int m,int **a)
{
    Color X;


    //初始化X
    X.n = n;
    X.m = m;
    X.a = a;
    X.sum = 0;
    int *p = new int[n+1];
    for(int i=0; i<=n; i++)
    {
        p[i] = 0;
    }
    X.x = p;
    X.Backtrack(1);
    delete []p;
    return X.sum;
}
/*
0 1 1 1 0
1 0 1 1 1
1 1 0 1 0
0 1 1 0 1
0 1 0 1 0
*/