[LeetCode] 882. Reachable Nodes In Subdivided Graph 细分图中的可到达结点

Starting with an undirected graph (the "original graph") with nodes from 0 to N-1, subdivisions are made to some of the edges.

The graph is given as follows: edges[k] is a list of integer pairs (i, j, n) such that (i, j) is an edge of the original graph,

and n is the total number of new nodes on that edge. 

Then, the edge (i, j) is deleted from the original graph, n new nodes (x_1, x_2, ..., x_n) are added to the original graph,

and n+1 new edges (i, x_1), (x_1, x_2), (x_2, x_3), ..., (x_{n-1}, x_n), (x_n, j) are added to the original graph.

Now, you start at node 0 from the original graph, and in each move, you travel along one edge. 

Return how many nodes you can reach in at most Mmoves.

Example 1:

Input: `edges` = [[0,1,10],[0,2,1],[1,2,2]], M = 6, N = 3
Output: 13
Explanation:
The nodes that are reachable in the final graph after M = 6 moves are indicated below.

Example 2:

Input: `edges` = [[0,1,4],[1,2,6],[0,2,8],[1,3,1]], M = 10, N = 4
Output: 23

Note:

1. 0 <= edges.length <= 10000
2. 0 <= edges[i][0] < edges[i][1] < N
3. There does not exist any i != j for which edges[i][0] == edges[j][0] and edges[i][1] == edges[j][1].
4. The original graph has no parallel edges.
5. 0 <= edges[i][2] <= 10000
6. 0 <= M <= 10^9
7. 1 <= N <= 3000
8. A reachable node is a node that can be travelled to using at most M moves starting from node 0.

这道题给了我们一个无向图，里面有N个结点，但是每两个结点中间可能有多个不同的结点，假设每到达下一个相邻的结点需要消耗一步，现在我们有M步可以走，问我们在M步内最多可以到达多少个不同的结点。这里虽然有N个有编号的大结点，中间还有若干个没有编号的小结点，但是最后在统计的时候不分大小结点，全都算不同的结点。为了更好的理解这道题，实际上可以把N个有编号的结点当作N个大城市，比如省会城市，每两个省会城市中间有多个小城市，假设我们每次坐飞机只能飞到相邻的下一个城市，现在我们最多能坐M次飞机，问从省会大城市0出发的话，最多能到达多少个城市。由于省会城市是大型中转站，所以只有在这里才能有多个选择去往不同的城市，而在两个省会城市中的每个小城市，只有前后两种选择，所以这道题实际上还是一种图的遍历，只不过不保证每次都能到有编号的结点，只有到达了有编号的结点，才可以继续遍历下去。当到达了有编号的结点时，还要计算此时的剩余步数，就是用前一个有编号结点的剩余步数，减去当前路径上的所有小结点的个数。假如当前的剩余步数不够到达下一个大结点时，此时我们要想办法标记出来我们走过了多少个小结点，不然下次我们通过另一条路径到达相同的下一个大结点时，再往回走就有可能重复统计小结点的个数。由于小结点并没有标号，没法直接标记，只能通过离最近的大结点的个数来标记，所以虽然这道题是一道无向图的题，但是我们需要将其当作有向图来处理，比如两个大结点A和B，中间有10个小结点，此时在A结点时只有6步能走，那么我们走了中间的6个结点，此时就要标记从B出发往A方向的话只有4个小结点能走了。

再进一步来分析，其实上对于每个结点来说（不论有没有编号），若我们能算出该结点离起始结点的最短距离，且该距离小于等于M的话，那这个结点就一定可以到达。这样来说，其实本质就是求单源点的最短距离，此时就要祭出神器迪杰斯特拉算法 Dijkstra Algorithm 了，LeetCode 中使用了该算法的题目还有 Network Delay Time 和 The Maze II。该算法的一般形式是用一个最小堆来保存到源点的最小距离，这里我们直接统计到源点的最小距离不是很方便，可以使用一个小 trick，即用一个最大堆来统计当前结点所剩的最大步数，因为剩的步数越多，说明距离源点距离越小。由于 Dijkstra 算法是以起点为中心，向外层层扩展，直到扩展到终点为止。根据这特性，用 BFS 来实现时再好不过了，首先来建立邻接链表，这里可以使用一个 NxN 的二维数组 graph，其中 graph[i][j] 表示从大结点i往大结点j方向会经过的小结点个数，建立邻接链表的时候对于每个 edge，要把两个方向都赋值，前面解释过了这里要当作有向图来做。然后使用一个最大堆，里面放剩余步数和结点编号组成的数对儿，把剩余步数放前面就可以默认按步数从大到小排序了，初始化时把 {M,0} 存入最大堆。还需要一个一维数组 visited 来记录某个结点是否访问过。在 while 循环中，首先取出堆顶元素数对儿，分别取出步数 move，和当前结点编号 cur，此时检查若该结点已经访问过了，直接跳过，否则就在 visited 数组中标记为 true。此时结果 res 自增1，因为当前大结点也是新遍历到的，需要累加个数。然后我们需要遍历所有跟 cur 相连的大结点，对于二维数组形式的邻接链表，我们只需要将i从0遍历到N，假如 graph[cur][i] 为 -1，表示结点 cur 和结点i不相连，直接跳过。否则相连的话，两个大结点中小结点的个数为 graph[cur][i]，此时要跟当前 cur 结点时剩余步数 move 比较，假如 move 较大，说明可以到达结点i，将此时到达结点i的剩余步数 move-graph[cur][i]-1（最后的减1是到达结点i需要的额外步数）和i一起组成数对儿，加入最大堆中。由于之前的分析，结点 cur 往结点i走过的所有结点，从结点i就不能再往结点 cur 走了，否则就累加了重复结点，所以 graph[i][cur] 要减去 move 和 graph[cur][i] 中的较小值，同时结果 res 要累加该较小值即可，参见代码如下：

解法一：

class Solution {
public:
    int reachableNodes(vector>& edges, int M, int N) {
        int res = 0;
        vector> graph(N, vector(N, -1));
        vector visited(N);
        priority_queue> pq;
        pq.push({M, 0});
        for (auto &edge : edges) {
            graph[edge[0]][edge[1]] = edge[2];
            graph[edge[1]][edge[0]] = edge[2];
        }
        while (!pq.empty()) {
            auto t= pq.top(); pq.pop();
            int move = t.first, cur = t.second;
            if (visited[cur]) continue;
            visited[cur] = true;
            ++res;
            for (int i = 0; i < N; ++i) {
                if (graph[cur][i] == -1) continue;
                if (move > graph[cur][i] && !visited[i]) {
                    pq.push({move - graph[cur][i] - 1, i});
                }
                graph[i][cur] -= min(move, graph[cur][i]);
                res += min(move, graph[cur][i]);
            }
        }
        return res;
    }
};

我们也可以使用 HashMap 来建立邻接链表，最后的运行速度果然要比二维数组形式的邻接链表要快一些，其他的地方都不变，参见代码如下：

解法二：

class Solution {
public:
    int reachableNodes(vector>& edges, int M, int N) {
        int res = 0;
        unordered_map> graph;
        vector visited(N);
        priority_queue> pq;
        pq.push({M, 0});
        for (auto &edge : edges) {
            graph[edge[0]][edge[1]] = edge[2];
            graph[edge[1]][edge[0]] = edge[2];
        }
        while (!pq.empty()) {
            auto t= pq.top(); pq.pop();
            int move = t.first, cur = t.second;
            if (visited[cur]) continue;
            visited[cur] = true;
            ++res;
            for (auto &a : graph[cur]) {
                if (move > a.second && !visited[a.first]) {
                    pq.push({move - a.second - 1, a.first});
                }
                graph[a.first][cur] -= min(move, a.second);
                res += min(move, a.second);
            }
        }
        return res;
    }
};

Github 同步地址:

https://github.com/grandyang/leetcode/issues/882

参考资料：

https://leetcode.com/problems/reachable-nodes-in-subdivided-graph/

https://leetcode.com/problems/reachable-nodes-in-subdivided-graph/discuss/156777/Java-Dijkstra-Solution

https://leetcode.com/problems/reachable-nodes-in-subdivided-graph/discuss/156739/C%2B%2BJavaPython-Dijkstra-%2B-Priority-Queue

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