[C++]多源最短路径(带权有向图):【Floyd算法(动态规划法)】 VS n*Dijkstra算法(贪心算法)

1 Floyd算法

1.1 解决问题/提出背景

  • 多源最短路径(带权有向图中,求每一对顶点之间的最短路径)
    • 方案一:弗洛伊德(Floyd算法)算法
      • 算法思想:动态规划法
      • 时间复杂度:O(n^3)
        • 形式上,相对较为简单
    • 方案二:分别以图中的每个顶点为源点,共调用【n次】【迪杰斯特拉(Dijkstra)算法】
      • 算法思想:贪心算法
      • 时间复杂度:O(n^3)
        • 形式上,相对较为复杂
      • 补充
        • Dijkstra算法主要应用于:求解【单源最短路径】

1.2 算法描述

1.3 编程复现

  • 1> 定义图模型(邻接矩阵表示法)的基本存储结构体
# define MaxInt 32767 // 表示极大值 即 ∞ (无穷大)

# define MVNum 100 // 最大顶点数 

typedef int VertexType; // 假设顶点的数据类型为整型

typedef int ArcType; // 假设Vi与Vj之边的权值类型为整型 

typedef struct {
    VertexType vexs[MVNum]; // 顶点表 (存储顶点信息)
    ArcType arcs[MVNum][MVNum]; // 邻接矩阵
    int vexnum,arcnum; // 图的当前顶点数与边数 
}AMGraph; // Adjacent Matrix Graph 邻接矩阵图
  • 2> 定义Floyd算法的辅助数据结构体
ArcType D[MVNum][MVNum]; // 记录顶点Vi和Vj之间的最短路径长度 
int Path[MVNum][MVNum];  // 最短路径上顶点Vj的前一顶点的序号 
  • 3> 初始化(邻接矩阵)带权有向图的图模型
void InitAMGraph(AMGraph &G){
    cout<<"Please Input Vertexs Number:";
    cin>>G.vexnum;
    cout<<"\nPlease Directed Edge Number:";
    cin>>G.arcnum;
    
    for(int i=0;i时:  路径长度无穷大 (i!=j) 
                G.arcs[i][j] = MaxInt;
            } else { //  【易错】 初始化时: 【自回环】路径长度为0 (i==i) 
                G.arcs[i][j] = 0;
            }
        }
    }
    for(int i=0;i>i;cin>>j;cin>>weight;
        G.arcs[i][j] = weight;
    }
    cout<
  • 4> Floyd算法:求解多源最短路径
void ShortestPath_Floyd(AMGraph G){
    //step1 初始化各对结点的已知路径和距离 
    for(int i=0;i更短的最短路径的距离和路径
    for(int k=0;k
  • 5> 输出结果 D[i][j] 、Path[i][j]
    • 二维数组D[i][j]【最短路径长度】、二维数组Path[i][j]【最短路径权重】
void OutputD(AMGraph G){
    cout<<"Shortest Distance Weight of the Pair of Directed Vertices:"<
  • 6> 执行:Main函数
int main(){
    AMGraph G;
    InitAMGraph(G);//易错处 
    ShortestPath_Floyd(G); // 【重/难点】易错处 
    OutputD(G);
    OutputPath(G);
    return 0;
}
  • 7> Output of Main
Please Input Vertexs Number:4
Please Directed Edge Number:8

Please Input All Directed Edges and their Weight now:
Directed Edges(i,j,weight):
0 1 1
1 3 2
2 0 3
0 3 4
2 1 5
3 2 6
2 3 8
1 2 9

Shortest Distance Weight of the Pair of Directed Vertices:
0       1       9       3
11      0       8       2
3       4       0       6
9       10      6       0

Shortest Distance Path(i,j) of the Pair of Directed Vertices:
-1      0       3       1
2       -1      3       1
2       0       -1      1
2       0       3       -1

2 参考文献

  • 《数据结构(C语言版/ 严蔚敏 李冬梅 吴伟民 编)》

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