关于答卷语言表述的若干建议

       这是去年高中联赛前我写的，刚才整理电脑里文件的时候发现了，索性就发出来，大神们勿喷。

      数学竞赛是我高中三年的奋斗，而对于现在的我来讲已经是青春时光里最美好的回忆了。三次参加高中联赛，两次参加CMO，西部数学竞赛，北方数学竞赛，以及历次其他的竞赛经历；高三第二学期在学校担任高一、高二年级竞赛辅导课程的授课，批阅高考模拟考试数学试卷等等的经历，让我有许多话想对即将参加联赛，北方数学竞赛，西部数学竞赛和冬令营的学弟学妹们说说。

       首先我有一个观点，“会做题”不仅指能够解答出题目，而是能够完满的完成从审题到表达完成的过程。类似的，在平时的训练中，对于每一个题目，训练过程要从审题，思路，计算，完善步骤细节，完整表达整个过程训练。我在高中训练时候，几乎每道大题都完整的，按照考试要求写出了解题步骤，而绝非只是看个思路。（当然，极少数高手可以仅仅看一眼问题得到思路就认为问题解决了。）这不仅是应试，对于真正的数学科研也是如此。如果计算错误，那么证明就是错的；表达不能被大家看懂，论文也就很难发表，这项工作对数学发展就没有帮助，他人也无从判断这个命题是否被解决了。所以，无论是“看错题”“算错数”“写不清”都是不会做题。

       其次，很多同学因为卷面表达被扣分，甚至自认为证出的题目一分都不得。毫无疑问，联赛阅卷的老师都是大学教授，他们的水平看懂一道中学试题的答案还是绰绰有余的；但是绝大部分教授并不是奥林匹克教练，对中学竞赛也不熟悉，这就要求考生要以规范合理清晰的表述，帮助阅卷老师看懂你的答案是否正确，给出评分。所谓的“误判”，绝大多数都是由于考生不规范的表述和不严密的思维造成的，这并不是误判，而是解答本身就是错误或者有漏洞的。

     为此提出以下建议，希望能帮助到大家。

一．卷面书写

       这是小学老师就教过的，这里再啰嗦几句……

      1.书写清晰规范。比如下标要写在右下角，字号要小，不宜写在右面。符号a和α，r和γ等要区分。每个英文字母都要写清楚，不要潦草。汉字也一样要清晰可以辨认。（包括名字。你自己经常要写自己的姓名，写的多了熟练了，可能会潦草，但是这时别人就认不清了。把名字认真写清楚，用工整的楷体或宋体，不要用行书草书甲骨文，这听起来很可笑，但是确实是个问题……）

      2.卷面整洁。字符之间不要连在一起，一行与下一行之间留出一定空隙。想好再在试卷上书写，不要想到一点就写上，然后发现不对就都划掉，或者发现论证顺序不合理就在卷子上画圆圈和箭头。个别文字确需修改的，用方框框住，在文字上画几条线划去（不是涂黑）。如果需要补充，在旁边写上，并标明补充文字插入的位置。

       3.排版。一页纸是否分成左右两栏书写按照个人习惯，如果分栏在分栏线附近留一两厘米的空白。一道题的解答中只用一种排版格式，行按由上至下，文字按由左至右的顺序，不要写了一段话发现旁边有一块空白就又在空白处与前面的步骤左右并列书写（更有甚者还会画一个圆圈），阅卷人看完一句话以后找不到下一句话在哪儿，也许在下面，右面，也许在左面或者右上方？？？（很多试卷真的是这样）还有就是规划好书写的步骤，避免用箭头的方式指示阅卷人该去哪里找你的步骤。

二．语言表述

         这是语文老师的工作……

       1.分段。每得出一个相对独立的中间结果可以分为一段。通常一段就是一个采分点。如果步骤很多，可以借助标号（1）（2）（3）的方式自主的把解答分成若干个环节。每一部分之前还可以用一句话简单说明这一部分要证什么结论或者要讨论什么问题，要对问题做简化，或者实现什么转化等等。或者在解答或论证之前先写一个提纲，写在卷子上，说明：论证分几步，每一步要做什么，然后在具体去做。总是，要突出解答的重点和逻辑层次，避免细节讨论让读者看不到整体论证的结构。

       2.用关联词。因为，所以，故，从而，由于，综上所述，由（1）（4）可得，另一方面，事实上，以下证明（往证）……论证的语句之间是有逻辑关系的，如果你只是简单的把一些论断和式子罗列起来，每句话一行，阅卷人无法判断论证的逻辑，所以才会出现“这一行为什么能推出下一行”这样的疑问（事实上，有可能这两行根本就不是因果关系，下一行是从另一个角度得到的叙述）。顺序推理用“所以”“从而”“故”等词语，换另一个角度之前写上“另一方面”，补充说明前面的论断是成立的用“事实上”“这是因为”或者加一个括号里面补充论证，等等……数学是逻辑的语言，要重视论证里面表现极强的逻辑性。这里特别说明，用三个点表示因为所以是中学特有的符号，不是国际通用的，大学老师一般不习惯，最好用汉字。3.用数学语言表述。比如“取充分大的N，当n>N时”就不要写成“n很大的时候”，“构造6×7方格表（矩阵）”不要写成“画一个表格，横行有六个，竖行有七个”（其实这两个例子不是很典型，至少还不影响理解，有的写法更奇怪）。存在，任意，假设，令……这些都是数学语言，不要随意更换用语。用归纳法，反证法（或同一法）的时候要说明一下，而且这些方法都有固定的表达格式，不要随意“创新”。否则直接写上反证假设，有的人连“反证假设”四个字都不写，老师看到有一个伪命题，可能就直接判为错了。比如可以看看联赛，CMO，集训队考试，IMO的标准答案，人家是怎样叙述的，就模仿这样的方式叙述，不要用口语叙述，以免歧义。

三．关于引用已知的结论

      1.定理。理论上，竞赛是可以用一切定理的。但是阅卷老师不可能知道世界上所有的数学定理。有一个标准：高考范围内的定理和联赛大纲以内的定理可以直接使用（也要写上定理名字）。超纲的定理如果要使用，可以在解答的最前面或者引用该定理的时候写上：“这里需要使用XXX定理（定理的名字）：………………（定理内容的完整，严密，没有漏洞的叙述，如果是几何定理还要附图）”写上名字方便老师如果真的不知道可以询问或者查找，写上定理的完整内容方便老师判断你是否使用正确。叙述定理必须完整，严格，表达没有任何漏洞，最后归结到大纲之内的内容上。如果有一些概念本身也是超纲的，则也需要说明。例如，如果使用配极原则，不仅需要说明定理的内容，在此之前还要完整严密地给出极线的定义。另外，由定理得到的结果必须是直接的，不能使用推论。例如：由威尔逊定理，对素数p，（p-1）！≡-1（mod p）如果需要（p-2）！≡1（mod p），就需要说明理由，因为这并不是威尔逊定理的原本内容。还有一点，使用一些生僻的定理时候，尽量按照定理原本的叙述方式，例如有一位同学使用了卡尔松不等式，但是没有写出对应的矩阵，直接写上不等式，这样就容易让阅卷人看不明白。方便阅卷老师的明白表述，万一老师记不清，可以避免被扣分。、

      2.结论。不是定理的结论一般来讲是不可以直接使用的，要以引理的形式给出证明（这时候引理本身的叙述也应该完整严密），或者把证明的过程融入正道题目的论证中。

      3.一些显然的性质。可以在使用的时候加以说明。这样的小结论最好给出简单论证（一两行就证完了），如果时间很紧张，也要在使用时加以一般化说明。例如：ABC垂心为H，直线AH与BC交于M，与外接圆交于异于A的一点N。如需使用HM=MN这一结论，应该说明这是垂心的一般性质：三角形垂心关于边的对称点在外接圆上。以免被误认为这是本题证明中的一个步骤，然后去前面的步骤中找为什么，找不到的话就判定证明错误了。

四．其他

       1.某些题目是可以得到部分分数的，甚至这一步可能很平凡。例如代数极值，如果写出来最值和取到最值的一个例子，就一定有一步分数。反之，即使证明正确，没有这一步会被扣分。再如不定方程，函数方程等，写出解并验证也是有分数的。这样的步骤，无论会不会做题，都要写上。

       2.论证和语言叙述都必须足够严密。例如某一道题要求整数a的最小值，答案是a=1.除了证明a=1时命题成立，还必须说明a取非正整数时不成立。事实上，此时原不等式一端为正数，另一端为负数，是显然不成立的。但是如果不加说明就是逻辑漏洞，严格来讲应该扣分。还有某些量为零的特殊情况（或者某些量非零的说明），不等式两端乘以一个量需要说明这个量是正数，以及几何题某些直线可能平行无交点（即使是当做交于无穷远点，也应该说明），当n去较小的数时候可能出现的特殊情形，等等，都应该补充说明。数学对严密性有最高的苛刻要求，我的观点是，任何不严密的细微漏洞都必须扣分，只有完美无瑕的解答才能得满分。当然真正阅卷时候老师很多时候过于善良，但是应该严格要求，避免被扣分。 最后，祝大家联赛取得好成绩！！祝大家享受数学的快乐！！谢谢大家！！