因为$gql$数论真的很差,,,所以决定给莫反开个专门的小结$QwQ$
然后因为我对这方面是真的很垃圾所以只会写下基础知识,经典例题和一些常见小套路.
依然不适合新手入门,也不适合入门进阶,只对$gql$本人比较友好$QwQ$
基础知识
首先莫反的本质,从我的理解上来说就是个容斥(,,,如果有锅并不是是我理解错了麻烦在评论里跟我港$kk$.
然后列几个基本式趴$QwQ$
- 若有$F(n)=\sum_{d|n}f(d)$.则有$f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)\cdot F(\frac{n}{d})$
- 若有$F(n)=\sum_{n|d}f(d)$.则有$f(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})\cdot F(d)$
- $\sum_{d|n}\mu(d)=[n==1]$
- $\sum_{d|n}\mu(\frac{n}{d})\cdot d=\phi(n)$
事实上前两个是可以由后面被证出来的?但是我懒得证了,大概记下趴$kk$
经典例题
[X]$HDU1695$
[X]$luogu2522$
[X]$luogu2257$
[X]$luogu3455$
[X]$luogu4318$
[X]$luogu4450$
[X]$luogu2303$
[ ]$UVA11417$
[ ]$UVA11424$
[ ]$luogu3935$
[ ]$luogu2568$
[ ]$luogu1447$
[ ]$luogu1829$
[X]$luogu3327$
[ ]$luogu3312$
[ ]$luogu3768$
[ ]$luogu3704$
常见套路
只随便写点儿$kk$
求$gcd(i,j)=x$的个数.
$\begin{align*}&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n [gcd(i,j)==x]\\&=\sum_{i=1}^{\frac{n}{x}}\sum_{j=1}^{\frac{n}{x}}[gcd(i,j)==1]\\&=2\cdot\sum_{i=1}^{\frac{n}{x}}\sum_{j=1}^i[gcd(i,j)==1]-1\\&=2\cdot\sum_{i=1}^{\frac{n}{x}}\phi(i)-1\\\end{align*}$
不对好像跑偏了,,,回来看莫比乌斯反演$kk$
回到第二步,设$f(x)=\sum_{i=1}^{\frac{n}{x}}\sum_{j=1}^{\frac{m}{x}}[gcd(i,j)==x],F(n)=\sum_{n|d}f(d)$
发现$F(x)$的意义就,$x|gcd(i,j)$的数量,于是有$F(x)=\frac{n}{x}\cdot \frac{m}{x}$
莫反就完事.
嗷然后有的情况下还要写个数论分块?我扩展再讲下$QwQ$
由莫反得$f(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})\cdot F(d)=\sum_{n|d}\frac{n}{d}\cdot \frac{m}{d}\cdot \mu(\frac{d}{n})$
然后数论分块就完事$QwQ$
求$gcd(i,j)\in prime$的个数.
$\begin{align*}&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m [gcd(i,j)\in prim]\\&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{p\in prim}[gcd(i,j)==p]\\&=\sum_{p\in prim}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)==p]\\&=\sum_{p\in prim}f(p)\end{align*}$
发现这时候复杂度依然不行$QAQ$.于是继续拆式子变成,$\sum_{p\in prim}\sum_{t=1}^{\frac{min(m,n)}{p}}\frac{n}{p\cdot t}\frac{m}{p\cdot p} \mu (t)$
设$T=p\cdot t$.继续带入得
$\begin{align*}&=\sum_{p\in prim}\sum_{p|T}\frac{n}{T}\frac{m}{T} \mu (\frac{T}{p})\\&=\sum_{T=2}^{min(m,n)}\frac{n}{T}\frac{m}{T}\cdot \sum_{p|T}[p\in prime]\mu(\frac{T}{p})\end{align*}$
预处理一个$g(i)=\sum_{p|i}[p\in prim]\cdot \mu(\frac{i}{p})$,于是原式化为$\sum_{T=2}^{min(m,n)}\frac{n}{T}\frac{m}{T}\cdot g(T)$
$over$
关于这个$g(i)$的预处理,就,枚举质数$p$,然后对$p$的每个倍数$T$加上$\mu{T}{p}$就好
(,,,我$jio$得我差不多算重写了个题解$kk$
求约数个数和.
,,,不想写了直接看我博客趴$kk$
上面有点大,,,本来想写点儿小技巧的懒得写了,,,反正写多了自然而然就能总结出来了$QwQ$