1、图

  (1)、图是一种非线性结构；主要由顶点和边构成；

  (2)、<> 代表有向图，( )代表无向图

  (3)、无向图有N个顶点时，最多有N*(N-1)/2条边；有向图最多有N*(N-1)条边;

  (4)、权：边上具有相关的数，带权图叫做网络;

  (5)、邻接顶点: 与其接触边上的顶点；

  (6)、度：与顶点V关联的边数；有向图中度 = 出度 + 入度；

  (7)、简单路径：路径上各顶点互不重复，

  (8)、回路/环：路径上第一个顶点与最后一个顶点重合；

  (9)、连通图/强连通图：各顶点之间有边联系，有向图，双路径存在叫做强连通图；

  (10)、生成树：是无向连通图的极小连通子图，若有N个顶点，则生成树由N-1条边构成！

2、图的邻接矩阵

  (1)、邻接矩阵模型如下：

  就是将图的多对多的非线性结构用矩阵的方式表示；

  我们必须知道：

  (1)、会由矩阵来恢复图；

  (2)、第一个邻接顶点：从列开始处，第一个边

  (3)、下一个邻接顶点：给2个参数，第一个参数表示是谁的下一个邻接顶点，第二个表示从当前顶点开始其后的第一条边；

  (4)、其顶点存放在数组空间中；

  (5)、顶点之间的关系通过矩阵来表示边；

存储结构：

    int maxVertices;  //最大顶点数
    int curVertices;  //当前顶点数
    int curEdges;  //当前边数
                                //用的是C++的继承
    Type *vertexList;  //存放顶点的数组
    int **edge;  //存放顶点关系的矩阵用边表示

存储模型如下：

图的存储之邻接矩阵_第1张图片

3、图的实现方法

  均用C++实现；并且父类给了接口，子类继承实现即可；方便对不同的存储结构的编写；

  核心方法，删除顶点：

  (1)、第一种方法实现：

bool removeVertex(const Type &v){
    int i = getVertexIndex(v);
    if(i == -1){
        return false;
    }
    for(int k = i; k < curVertices-1; ++k){
        vertexList[k] = vertexList[k+1];
    }

    int edgeCount = 0;
    for(int j = 0; j < curVertices; ++j){
        if(edge[i][j] != 0)
            edgeCount++;
    }
    //删除行
    for(int k = i; k < curVertices-1; ++k)
    {
        for(int j = 0; j < curVertices; ++j)
        {
            edge[k][j] = edge[k+1][j];
        }
    }
    //删除列
    for(int k = i; k < curVertices-1; ++k)
    {
        for(int j = 0; j < curVertices; ++j)
        {
            edge[j][k] = edge[j][k+1];
        }
    }

    curVertices--;
    curEdges -= edgeCount;

    return true;
}

  以上存在数组的大量移动，效率太低; 

  (2)、第二种方法的实现：

bool removeVertex(const Type &v){
    int i = getVertexIndex(v);
    if(i == -1){
        return false;
    }
    vertexList[i] = vertexList[curVertices-1];
    int edgeCount = 0;
    for(int k = 0; k < curVertices; k++){
        if(edge[i][k] != 0){  //统计删除该行的边数
            edgeCount++;
        }
    }
    //删除行
    for(int j = 0; j < curVertices; j++){
        edge[i][j] = edge[curVertices-1][j];
    }
    //删除列
    for(j = 0; j < curVertices; j++){
        edge[j][i] = edge[j][curVertices-1];
    }
    curVertices--;
    curEdges -= edgeCount;
    return true;
}

  第二种方法甚好，将要删除的顶点(连边一起删除),用最后一个元素(行/列)去覆盖删除的那个即可，之间的关系不变，但是就避免了大量移动，一次覆盖就好，效率极大！！！

模型如下：


4、图的方法实现完整代码、测试代码、测试结果

  (1)、完整代码(用的是继承，方便写其它的存储结构代码)：

#ifndef _GRAPH_H_
#define _GRAPH_H_

#include
using namespace std;

#define VERTEX_DEFAULT_SIZE        10

template    
class Graph{
public:
    bool isEmpty()const{
        return curVertices == 0;
    }
    bool isFull()const{
        if(curVertices >= maxVertices || curEdges >= curVertices*(curVertices-1)/2)
            return true;  //图满有2种情况：(1)、当前顶点数超过了最大顶点数，存放顶点的空间已满
        return false;     //(2)、当前顶点数并没有满，但是当前顶点所能达到的边数已满
    }
    int getCurVertex()const{
        return curVertices;
    }
    int getCurEdge()const{
        return curEdges;
    }
public:
    virtual bool insertVertex(const Type &v) = 0;  //插入顶点
    virtual bool insertEdge(const Type &v1, const Type &v2) = 0; //插入边
    virtual bool removeVertex(const Type &v) = 0;  //删除顶点
    virtual bool removeEdge(const Type &v1, const Type &v2) = 0; //删除边
    virtual int getFirstNeighbor(const Type &v) = 0; //得到第一个相邻顶点
    virtual int getNextNeighbor(const Type &v, const Type &w) = 0; //得到下一个相邻顶点
public:
    virtual int getVertexIndex(const Type &v)const = 0; //得到顶点下标
    virtual void showGraph()const = 0;  //显示图
protected:
    int maxVertices;  //最大顶点数
    int curVertices;  //当前顶点数
    int curEdges;  //当前边数
};

template
class GraphMtx : public Graph{ //邻接矩阵继承父类矩阵
#define maxVertices  Graph::maxVertices  //因为是模板，所以用父类的数据或方法都得加上作用域限定符
#define curVertices  Graph::curVertices
#define curEdges     Graph::curEdges
public:
    GraphMtx(int vertexSize = VERTEX_DEFAULT_SIZE){  //初始化邻接矩阵
        maxVertices = vertexSize > VERTEX_DEFAULT_SIZE ? vertexSize : VERTEX_DEFAULT_SIZE;
        vertexList = new Type[maxVertices]; //申请顶点空间
        for(int i = 0; i < maxVertices; i++){  //都初始化为0
            vertexList[i] = 0;
        }
        edge = new int*[maxVertices];  //申请边的行
        for(i = 0; i < maxVertices; i++){ //申请列空间
            edge[i] = new int[maxVertices];
        }
        for(i = 0; i < maxVertices; i++){ //赋初值为0 
            for(int j = 0; j < maxVertices; j++){
                edge[i][j] = 0;
            }
        }
        curVertices = curEdges = 0; //当前顶点和当前边数
    }
    GraphMtx(Type (*mt)[4], int sz){  //通过已有矩阵的初始化
        int e = 0; //统计边数
        maxVertices = sz > VERTEX_DEFAULT_SIZE ? sz : VERTEX_DEFAULT_SIZE;
        vertexList = new Type[maxVertices]; //申请顶点空间
        for(int i = 0; i < maxVertices; i++){  //都初始化为0
            vertexList[i] = 0;
        }
        edge = new int*[maxVertices];  //申请边的行
        for(i = 0; i < maxVertices; i++){ //申请列空间
            edge[i] = new Type[maxVertices];
        }
        for(i = 0; i < maxVertices; i++){ //赋初值为矩阵当中的值
            for(int j = 0; j < maxVertices; j++){
                edge[i][j] = mt[i][j];
                if(edge[i][j] != 0){
                    e++; //统计列的边数
                }
            }
        }
        curVertices = sz;
        curEdges = e/2;
    }
    ~GraphMtx(){}
public:
    bool insertVertex(const Type &v){
        if(curVertices >= maxVertices){
            return false;
        }
        vertexList[curVertices++] = v;
        return true;
    }
    bool insertEdge(const Type &v1, const Type &v2){
        int maxEdges = curVertices*(curVertices-1)/2;
        if(curEdges >= maxEdges){
            return false;
        }

        int v = getVertexIndex(v1);
        int w = getVertexIndex(v2);

        if(v==-1 || w==-1){
            cout<<"edge no exit"< 
  
  (2)、测试代码：
 
  
#include"Graph.h"

#define VERTEX_SIZE        4

int main(void){
    GraphMtx gm;

    gm.insertVertex('A'); //插入顶点
    gm.insertVertex('B');
    gm.insertVertex('C');
    gm.insertVertex('D');

    gm.insertEdge('A','B'); //插入边
    gm.insertEdge('A','D');
    gm.insertEdge('B','C');
    gm.insertEdge('C','D');

    cout< gm(mtx, VERTEX_SIZE);
    gm.showGraph();
*/
    return 0;
}
 
  
  (3)测试结果：
 
  
测试的图：
 
  
 
  

 
  
图的存储之邻接矩阵_第2张图片