【数据结构】树状数组

树状数组

• 前置知识 :

1. 差分&前缀和

2. 位运算

3. 树的基本概念和定理

1. 什么是树状数组?

树状数组(Binary Indexed Tree(B.I.T), Fenwick Tree)是一个查询和修改复杂度都为Log(N)的数据结构。主要用于查询任意两位之间的所有元素之和，但是每次只能修改一个元素的值；经过简单修改可以在Log(N)的复杂度下进行范围修改，但是这时只能查询其中一个元素的值(如果加入多个辅助数组则可以实现区间修改与区间查询)。——百度百科

SMG

其实基本的树状数组就是实现这样一个问题

——求

1. 数组中一段区间的和
2. 修改数组中某一个数

小明:"不就是前缀和可以搞定的嘛!"

$ \large\texttt{嗖---} $

#include
using namespace std;
int a[1000000];
int sum[1000000];
int main()
{
    int n, ask;
    cin >> n >> ask;
    while (ask --)
    {
        char type;
        cin >> type;
        if (type == 'A') //查询
        {
            int x;
            cin >> x;
            cout << sum[x] << endl;
        }
        else if (type == 'B') //修改
        {
            int x, p;
            cin >> x >> p;
            for (int i = x; i <= n; i ++) sum[i] += p;
        }
    }
    return 0;
}

$ \large\texttt{提交} $

跑得好快呀!

那么这时我们的树状数组就该出场啦~

首先,树状数组,顾名思义长得像树的数组

所以树状数组长这个样

上面是树,下面是数组

首先是求区间和

通过这幅图,应该不难看出,一个数到最前面的距离就等于刚好包含这个区间的几个横条的和:

比如区间1~7为:

绿色条的和

知道这个,那么任意两个数之间的区间也就容易了,
只需要把两个区间到1的区间和相减就可以了。

那有了区间和还不够,还要修改呢

修改也简单,只需要每次修改包含自己的横条就好了(废话)

比如修改5的值:

把蓝色横条全改了就好啦!

这么说两个功能都准备好了,那就到代码实现了

首先引入一个概念——Lowbit

指一个数在二进制下最末尾的1所对应的值

十进制数	二进制数	Lowbit值
1	\(\large\texttt{1}\)	1
2	\(\large\texttt{1}\) 0	2
3	1\(\large\texttt{1}\)	1
4	$\large\texttt{1}$00	4
5	10 \(\large\texttt{1}\)	1
6	1 \(\large\texttt{1}\) 0	2
7	11 \(\large\texttt{1}\)	1
8	\(\large\texttt{1}\) 000	8
9	100\(\large\texttt{1}\)	1
10	10$\large\texttt{1}$0	2
...	...	...

发现了吗,跟它在树状数组中的高度是一模一样的

首先二进制负数就是原数的反码(把原数的0变为1,1变为0)+1(也称原数的补码)

也就是说我们用原数按位与(&)原数的补码

就是最后一个1的位置所表示的值,也就是Lowbit值

综上,Lowbit(x) = x&(-x)

如果没看懂也不要紧,记下来就好了。

根据上面的结论,我们可以搞定两个东西

1. 一个位置左边的横条在 x - Lowbit(x)

2. 一个位置上面的横条在 x + Lowbit(x)

(随便找一个点在上图中康康就知道啦)

 

有了这几个结论,我们就可以开始搞事情了

首先是区间查询

只需要一直往左边找。(上面的1号结论)

代码很简单:

// tree表示横条的值
int get_sum(int x) // 求前x个数的和
{
    int sum = 0;
    while (x > 0)
    {
        ans += tree[x]; // 加上当前点的值
        x -= lowbit(x); // 继续找左边的一个横条
    }
    return ans;
}

接着是修改点的值

只需要一直找上一个横条。(上面的2号结论)

代码:

// 这个是加一个数,可以有别的修改
void add(int x, int p)
{
    while (x <= n)
    {
        tree[x] += p; //修改改当前点
        x += lowbit(x); // 继续找上面的横条
    }
}

树状数组get!

那它的复杂度呢?

• 区间查询

从之前所说来看,我们只要往左找,越到左边层数越高,最左边是最高的,最高点的高度最多为这颗二叉树树的高度

时间复杂度: $ \text{O}(\log_2N) $

• 单点修改

修改单点指需要找到包含自己的所有横条,也就是一直往树根跳,小于树的高度

时间复杂度: $ \text{O}(\log_2N) $

再看看前缀和的复杂度:

• 区间查询: 时间复杂度: $ \text{O}(1) $

• 单点修改: 时间复杂度: $ \text{O}(N) $

小明:"怪不得T飞了!"

模板切掉!

洛谷P3374【模板】树状数组1

#include
#define endl '\n'
using namespace std;
int a[500010];
int n, m;
int lowbit(int x) //求Lowbit
{
    return x & -x;
}
void add(int x, int k) //修改
{
    while (x <= n)
    {
        a[x] += k;
        x += lowbit(x);
    }
}
int sum(int k) // 求和
{
    int sum = 0;
    while (k > 0)
    {
        sum += a[k];
        k -= lowbit(k);
    }
    return sum;
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);  // 玄学输入输出优化
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        int tmp;
        cin >> tmp;
        add(i, tmp); // 初始边
    }
    for (int i = 1; i <= m; i ++)
    {
        int type, x, k;
        cin >> type >> x >> k;
        if (type == 1) add(x, k); // 加边
        else cout << sum(k) - sum(x - 1) << endl; // 输出区间和
    }
    return 0;
}

温馨提示:

1. 树状数组的题输入量大,注意用 \(\large\texttt{快读}\) 或 \(\large\texttt{scanf, printf}\)
2. 树状数组的题喜欢爆int,不要没开 \(\large\texttt{long long}\) 见祖宗

会了模板,这几题可以切了!

Loj P10116 清点人数

Loj P10117 简单题