素数判定与筛法

素数判定相关。包括筛法，也含更基础的算法及其常数优化。Pollard-Rho一类的就别想了。不会。
本文是我第一次使用 \(\LaTeX\) ，以\(Markdown\)编辑。

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一、朴素算法

根据定义，枚举判断正整数 \(n\) 是否有除\(1\)和它本-身以外的因数即可。时间复杂度 \(O(n)\) 。大数据下时间过长是显然的。

bool is_prime(int n){
    if(n == 1) return false;
    if(n == 2) return true;
    for(int i=2; i

二、一个小但有用的优化

由于\(n\)的因数为成对出现的，我们只枚举了其中一个，枚举范围到\(\sqrt{n}\)即可。

bool is_prime(int n){
    if(n == 1) return false;
    if(n == 2) return true;
    for(int i=2; i*i<=n; i++)
        if(n % i == 0) return false;
    return true;
}

其实，这种优化后时间复杂度为\(O(\sqrt{n})\)，已经可以满足大多数使用场合了。

三、又一个常数优化

这里要利用到一个定理：所有大于\(3\)的质数取余\(6\)，得数均为\(1\)或\(5\)。即，所有大于\(3\)的质数均为\(6k+1\)或\(6k-1\)。
反证法证明如下：

取余结果只可能为\(0\) ~ \(5\)。若为\(0\)、\(2\)或\(4\)，则为偶数，不可能为质数。若为\(3\)，则可以被\(3\)整除，不可能为质数。

因此，对于取余结果不为\(1\)或\(5\)的数，可以\(O(1)\)得出该数不为质数。否则枚举\(6k\pm1\)即可。

bool is_prime(int n)
{
    if(n == 1) return false;
    if(n == 2 || n == 3) return true;
    if(n % 6 != 1 && n % 6 != 5) return false;
    for(int i=5; i*i<=n; i+=6)
        if(n % i == 0 || n % (i + 2) == 0) return false;
    return true;
}

理论上最坏效率是上一个小优化后的三倍，即，时间复杂度\(O(\sqrt{n} / 3)\)。

四、本文主要内容：筛法

筛法用于预处理出一定区间内的质数，便于使用时\(O(1)\)查询。主要的我现在会的方法有一般筛法（埃拉托斯特尼筛法）与欧拉筛。

埃拉托斯特尼筛法：先将所有数标为质数，每次选取最前面的质数，将其所有倍数标为合数。
gif演示见下（来自维基百科）：

但是，由于有的数会被重复计算（如\(6\)被\(2\)和\(3\)均标记一次），达不到线性。
时间复杂度\(O(n~log~log~n)\)。（我并不会算）

bool prime[MAXN];
void make_prime() {
    memset(prime, true, sizeof(prime));
    prime[0] = prime[1] = false;
    int sq = sqrt(MAXN);
    for(int i=2; i<=t; i++) {
        if(prime[i]) {
            for(int j=2*i; j

由于以上弊端，经过改良后的筛法——欧拉筛，可以达到保证每个合数只在最小质因子时被筛出。

bool prime[MAXN];
int Prime[MAXN];
int num=0;
void make_prime(){
    memset(prime, true, sizeof(prime));
    prime[0] = prime[1] = false;
    for(int i=2; i<=MAXN; i++) {
        if(prime[i]) {
            Prime[num++]=i;
        }
        for(int j=0; j

该筛法的时间复杂度可以达到\(O(n)\)，基本满足各种需求。

注意，筛法不能用于数较大但请求较少的情况，否则会付出较大的时间和空间。

五、就这么一提其他算法

\(Miller–Rabin~primality~test\)：更高效，虽然是一种不确定的质数判断法，但是在选择多种底数的情况下，正确率是可以接受的。
\(Pollard~Rho\)是一个非常玄学的方式，用于在\(O(n^{1/4})\)的期望时间复杂度内计算合数n的某个非平凡因子。事实上算法导论给出的是\(O(\sqrt p)\)，\(p\)是\(n\)的某个最小因子，满足\(p\)与\(n/p\)互质。但是这些都是期望，未必符合实际。但事实上\(Pollard~Rho\)算法在实际环境中运行的相当不错。

\(the~Meissel,Lehmer,Lagarias,Miller,Odlyzko ~Method\)：我也不知道它是啥，传说中的\(O(n^{3/4}/log~n)\)