2019-01-02/03

继续看更多相关的文献，准备要开始写note还有重复文章的内容了。周五有一个年终的报告会，简单准备了介绍这个工作的报告。

今天我报告的题目是3维anti-de sitter 空间的全息关联函数。
关联函数可以理解为共形场论里的散射振幅，anti-de sitter空间
是具有恒定负曲率的空间，他的边界是一个平直的闵式空间。
我报告的中心内容就是利用全息的方法计算在这个边界上的共形场论的一类特殊的关联函数。首先我想要介绍一下全系的方法，AdS/CFT correspondence，这个概念在高能理论界里面已经司空见惯，而且正在扩展到其他领域。

当下，我们有两个很成功的理论框架，表述基本粒子的量子场论和表述引力还有时空结构的广义相对论。我说他们很成功，是指物理学家可以在这两个框架下进行复杂的non-trivial的计算，然后和实验去比较或者去检查理论本身的自洽性。
但是因为一些技术上的困难，我们还没有完去理解他们。比如我们不知道如何更有效地控制强耦合的作用，还有我们不知道如何去描述引力奇点。
受弦论的启发，我们现在有了一个新的工具来研究这些问题：这就是所谓的gauge/gravity duality。这个理论说，规范场论还有引力其实同一个理论在不同耦合强度时的反应。假如这条绿线代表某一个耦合常数，当弱耦合的时候，我们有很好的基于场论的表述，但是当耦合变得越来越强的时候，场论的表述变得越来越不可控，但是这个时候，我们发现这个强耦合系统表现得像一个经典的引力理论。
我们也可以从表示论的角度来理解这个对偶，引力子具有自旋2，很容易的我们可以认为它是由两个自旋为1的向量场构成。

3．
这个对偶一般称为AdS/CFT correspondence，是由Maldacena在97年提出的。狭义上来说
这个对偶是指在这个5维的anti-de sitter space和5维球面的乘积空间的引力理论和一个4维的超对称YM理论是等价的。这个是一个卡通图，我们可以想象这个场论是定义在anti-de sitter空间的边界上，然后所有的物理过程在AdS空间里和在边界的共形场论里都有一个对应。比如空间了的一个黑洞，就对应了边界场论的一个热平衡态。
这个对应可以看成是一个全息的理论。虽然这个对应还没有完全严格地证明，即使是在这最理想的例子下，但是他已经通过了很多测试，而且是在很多其他的gauge/gravity的对偶了。
比如对称性的匹配，希尔伯特空间的对应，关联函数和anomalies的吻合，还有更多non-trivial的物理量的温和，比如Wilson loop还有纠缠熵。

所以现在我们的对这个对偶的关注重点不再是怀疑他的正确性而是想着在更多的地方应用他。而且这个对偶也被其他领域的物理学家开始使用去计算一些用传统方法很难的到结果。，
比如像粒子物理，凝聚态物理，流体物理等。

虽然我前面提到的什么AdS，CFT很抽象，但是我们内心的目的还是研究量子场论。因为重整化群，我们总可以认为所有的QFT都可以作为一个CFT在relevant operators下的微扰。这就意味着如果我们解决了所有CFT，在加上重整化，我们可以解决QFT。解一个CFT意味着，我们要确定他的谱还有所有的关联函数。更现代和抽象的对CFT可以理解是，我们不需要拉式量和路径积分，可以用谱还有关联函数等价的算符代数来定义。
虽然CFT本身有很多计算关联函数的方法和技巧，但是AdS/CFT给我们提供了一个额外的方法。而且特别的，从全息理论得到的结果可以揭示系统在强相互作用下性质。

5．

按照一般的AdS/CFT的对偶理论，CFT的关联函数可以用Witten 图来计算。这里的一个圆代表了AdS空间，这个图表述了在引力空间里的粒子的散射情况，可以理解维在AdS空间的费曼图，每一条线都是传播子，区别是这里我们要把定点在整个AdS空间里积分。
这个方法已经是标准的了。在AdS5的情况下已经得到了很多的结果和理解

但是令人震惊的是，在3维的AdS空间了，直到上个月还没有一个关联函数被用全息的方法计算出来。Witten diagram的方法在这里不适用主要由两个原因：首先计算Witten图的时候，我们要由一个合适的有效理论。在AdS3的超引力里面，我们需要的带有3粒子定点的有效理论还未知。第二个问题是在Witten图里如果交换的粒子是这种向量场或是引力场的时候，Witten图的结果是发散的，一个普遍使用的正规化方法还没有被找到。
在这个新的工作里，Stefano Guisto采用了一种新的方法来计算关联函数来回避这两个问题。在这个方法里一个4点的关联函数可以转化为一个在non-trivial几何背景下的2点函数。

去理解这个方法，我们要考虑一个具体的AdS3/CFT2的对应，D1/D5 系统。
D1D5CFT 是一个orbifold cft，粗略地，我们可以想象这里由N个一样的CFT的组合得到。
这个/Sn是说这N个CFT是全同的。每一个copy我们一般称为一个strand，在这个strand上我们由4个波色场4个费米场。费米子在循环边界条件下可以有对称和反对称两种情况对应了R 还有 NS 两个sector。

8
下面我们来看一下R sector的真空态。因为R sector 的质量和N成正比的，所以成为heavy state。首先当我们整体考虑这个N个strand的时候，不同的strand的可以组合在一起成为一个长的strand，k 表示了基本的strand的个数。这种成为k-twist strand。K=1对应了基本strand。在每一个k-twist strand上R 真空态有5种情况。每一种情况由两个数表示，因为2维场论，左移的mode和右移mode是独立的，这两个数可以理解维两个mode的自旋。

这些R sector也就是heavy state 都有在AdS3里面的对应。他们都应了一个超引力的解。这些几何一般称为2-charge geometries 或者 Lunin-Murther geometries。 这些几何没有奇点也没有视界，在耦合极限下，他们都趋近于AdS3 S3，这也是整个理论的真空态。他们也可以被延展到渐近平直几何。这些解也被称为微观态几何，因为理论上猜测黑洞的解是这些微观态几何的一个系综。
下面我们考虑一种特殊的真空态，他只有两种真空态线性组合得到。在large N的极限下，这个求和可以由这个极大项来近似。这样对应的几何空间就有了一个参数，我们之后会用到。

我们像计算这样的一类4点关联函数，里面由2个重粒子态，2个轻粒子态。
轻粒子态可以理解维无质量的探测粒子。这样这个关联函数就表示了这个探测粒子在由这个重粒子诱导下的一个微观几何的传播。这个传播由在这个几何背景下的线性围绕决定。
这就给出了我们计算这个关联函数的方法。首先我们确定这个轻粒子态在AdS里面对应的场，然后解这个场的运动方程。然后选取正确边界条件下的解。

11．
Heavy operator 对应了多粒子态，所以我们刚刚计算的4点函数并不是一般我们更关心的单粒子态的关联函数。要得到轻粒子态的关联函数，我们可以想象在我们已经得到的结果下取一些极限。正好我们有一个free parameter。但是通过CFT场论的一般分析，这个极限之内给出关联函数HH-LL 这一个channel的信息。但是有趣的是，Giusto利用一些自洽性风分析和一些极限情况得到了完整的关联函数。

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最后是总结和一些展望
在这个报告里，我已经介绍了一种新的机选关联函数的方法。
这个方法把一个4点关联的问题转化为在non-trivial几何背景下的两点函数的问题。
目前，只有一个完整的结果被给出。这个方法可能是一个巧合，或许还有这个方法更深层的解释。取理解这个方法，我们就需要计算更多的例子得到更多的结果。甚至把这个方法推广到更一本的微观几何上面。