字符串算法小结

1. hash
2. kmp和ac自动机
3. 后缀数组，后缀自动机，后缀树
4. 扩展kmp
5. manacher算法
6. 回文自动机
7. 可删改的ac自动机
8. 不看复杂度乱搞

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hash

hash就是把字符串每一位乘以一个阶，用于快速判断字符串是否相等。需要担心碰撞，相等情况不多的时候可以进行强检查。

kmp和ac自动机

这两个本质上是同一个东西，一个是求单串的fail指针，一个是求多串的fail指针，用势能分析可以知道是线性复杂度。

后缀数组，后缀自动机和后缀树

后缀数组主流实现是利用桶排和倍增在O(nlogn)内求出后缀的大小顺序。之后线性时间求出相邻名次的最长公共前缀长度的height数组。在求最长不重叠子串时常用技巧是二分答案线性判断。有时配合height数组的RMQ口味更佳。

后缀自动机通过线性的在线算法构造一个包含所有状态的自动机。具体建议看这篇个人觉得讲的比CLJ的营员资料好的文章。CLJ的ppt只证明了边和点是线性的，并没有证明构造过程中对cloneq的重定位是线性的，可以通过势能分析证明每重定位一次cloneq，可估计q的fail深度比p的深度少一。以最新节点的fail递归深度为势能可证明构造线性。

观察后缀自动机的fail指针则是逆序字符串的后缀树。可以推测后缀树与后缀自动机能力等价。

扩展kmp

跟kmp的算法似乎没有什么关系，解决的问题是求S的每一个后缀和T的最长公共前缀。
设第i个字符起始的S的后缀与T的最长公共前缀长度为extend[i]。
设第i个字符起始的T的后缀与T的最长公共前缀长度为next[i]。
假设next[1...k]和extend[1...k]和当前S匹配最远处已知，可以通过next数组立即得到在k+1处以匹配多远，若超过当前最远处，则从最远处往前推。复杂度线性。
如何求next数组，next数组相当于T本身的extend可以用同样的方法求。

loyinglin的思路：扩展kmp解决的问题同样可以用后缀自动机解决，将S和T反转，rev(T)建立后缀自动机，将rev(S)在里面跑，从后往前求extend数组。需要预先dp出每个点的fail指针经过的终止符的最大长度。

扩展kmp依然存在价值因为loyinglin的思路是需要rev(S)跑rev(T)的SAM的离线算法，若改成动态增删S的最后字符，loyinglin的思路就失效了。

manacher算法

求字符串最长回文的问题，与扩展kmp类似，保留一个匹配最远的点，通过当前位置回文长度初始设为最远匹配中心的镜像长度。若更长，则往前匹配，更新最长长度。复杂度线性。奇数和偶数需要分别回文，可通过插特殊值使算法只跑一次。

问题也可用后缀数组实现。

回文自动机

与后缀自动机类似，可在线性时间构造。回文自动机解决一系列回文串问题。完美替代manacher算法，也补全了后缀自动机解决回文问题不方便的问题。

可删改的ac自动机

ac自动机的dp的特点在于一旦建立好fail指针，要插入字符串需要全部重新建立，使得dp也要全部重新来过。
要建立可删改的ac自动机，可以建立logn个ac自动机，第1个自动机放1个串，第2个自动机放2个串，第3个放4个串。。。第logn个放n个串。假如目前有7个串在自动机，则只在第1，2，3个自动机分别存1，2，4个串进行dp。此时再插入一个串，则将第1，2，3自动机消除，8个串全部放入第4个自动机，重建fail指针和dp。因为每个串最多经历logn个自动机，所以均摊复杂度都只是标准自动机的logn倍。

不看复杂度乱搞

字符串很多题数据是很难卡的，比如对于可删改的ac自动机能完成的题，很多时候可以用一个普通的ac自动机，不计复杂度的A掉。当你做不出题时，就别看复杂度了，先搞为胜。

总结

其实AC自动机和后缀自动机就能解决绝大部分题目了。回文自动机在解决回文串时有它的价值。后缀数组和扩展kmp以备不时之需。