仿射变换及其变换矩阵的理解

博客：blog.shinelee.me | 博客园 | CSDN

写在前面

2D图像常见的坐标变换如下图所示：

这篇文章不包含透视变换（projective/perspective transformation），而将重点放在仿射变换（affine transformation），将介绍仿射变换所包含的各种变换，以及变换矩阵该如何理解记忆。

仿射变换：平移、旋转、放缩、剪切、反射

仿射变换包括如下所有变换，以及这些变换任意次序次数的组合：

平移（translation）和旋转（rotation）顾名思义，两者的组合称之为欧式变换（Euclidean transformation）或刚体变换（rigid transformation）；

放缩（scaling）可进一步分为uniform scaling和non-uniform scaling，前者每个坐标轴放缩系数相同（各向同性），后者不同；如果放缩系数为负，则会叠加上反射（reflection）——reflection可以看成是特殊的scaling；

刚体变换+uniform scaling 称之为，相似变换（similarity transformation），即平移+旋转+各向同性的放缩；

剪切变换（shear mapping）将所有点沿某一指定方向成比例地平移，语言描述不如上面图示直观。

各种变换间的关系如下面的venn图所示：

通过变换矩阵可以更清晰地看出这些变换间的关系和区别。

变换矩阵形式

没有平移或者平移量为0的所有仿射变换可以用如下变换矩阵描述：

\[ \left[ \begin{array}{l}{x'} \\ {y'}\end{array}\right]=\left[ \begin{array}{ll}{a} & {b} \\ {c} & {d}\end{array}\right] \left[ \begin{array}{l}{x} \\ {y}\end{array}\right] \]

不同变换对应的\(a, b, c, d\)约束不同，排除了平移变换的所有仿射变换为线性变换（linear transformation），其涵盖的变换如上面的venn图所示，其特点是原点位置不变，多次线性变换的结果仍是线性变换。

为了涵盖平移，引入齐次坐标，在原有2维坐标的基础上，增广1个维度，如下所示：

\[ \left[ \begin{array}{l}{x^{\prime}} \\ {y^{\prime}} \\ {1}\end{array}\right] =\left[ \begin{array}{lll}{a} & {b} & {c}\\ {d} & {e} & {f} \end{array}\right] \left[ \begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {1}\end{array}\right] \]

所以，仿射变换的变换矩阵统一用 \(\left[ \begin{array}{lll}{a} & {b} & {c}\\ {d} & {e} & {f}\end{array}\right]\)来描述，不同基础变换的\(a,b,c,d,e,f\)约束不同，如下所示：

此外，旋转和平移相乘得到刚体变换的变换矩阵，如下，有3个自由度（\(\theta, t_x, t_y\)），这里旋转方向为逆时针方向，因此与上图中的正负号不同，
\[ \left[ \begin{array}{ccc}{\cos (\theta)} & {-\sin (\theta)} & {t_{x}} \\ {\sin (\theta)} & {\cos (\theta)} & {t_{y}}\end{array}\right] \left[ \begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {1}\end{array}\right]=\left[ \begin{array}{c}{x^{\prime}} \\ {y^{\prime}} \\ {1}\end{array}\right] \]

再乘上uniform scaling得到相似变换，有4个自由度（\(s, \theta, t_x, t_y\)），如下：

\[ \left[ \begin{array}{ccc}{s\cos (\theta)} & {-s\sin (\theta)} & {t_{x}} \\ {s\sin (\theta)} & {s\cos (\theta)} & {t_{y}}\end{array}\right] \left[ \begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {1}\end{array}\right]=\left[ \begin{array}{c}{x^{\prime}} \\ {y^{\prime}} \\ {1}\end{array}\right] \]

自然，仿射变换的变换矩阵有6个自由度（\(a,b,c,d,e,f\)）。

变换矩阵的理解与记忆

坐标系由坐标原点和基向量决定，坐标原点和基向量确定了，坐标系也就确定了。

对于坐标系中的位置\((x, y)\)，其相对坐标原点在\([1, 0]\)方向上的投影为\(x\)，在\([0, 1]\)方向上的投影为\(y\)——这里投影的意思是过\((x, y)\)做坐标轴的平行线与坐标轴的交点到原点的距离，即\((x, y)\)实际为：

\[\left[ \begin{array}{l}{x} \\ {y}\end{array}\right] = x\left[ \begin{array}{l}{1} \\ {0}\end{array}\right] + y\left[ \begin{array}{l}{0} \\ {1}\end{array}\right] = \left[ \begin{array}{ll}{1} & {0} \\ {0} & {1}\end{array}\right] \left[ \begin{array}{l}{x} \\ {y}\end{array}\right]\]

当坐标系变化，坐标系中的点也跟着变化，但点相对新坐标系（\(x'-y'\)坐标系）的位置不变仍为\((x, y)\)，以旋转变换为例，新坐标轴的基向量则变为\([\cos (\theta), \sin (\theta)]\)和\([-\sin (\theta), \cos (\theta)]\)，所以点变化到新位置为：

\[\left[ \begin{array}{l}{x'} \\ {y'}\end{array}\right] = x\left[ \begin{array}{l}{\cos (\theta)} \\ { \sin (\theta)}\end{array}\right] + y\left[ \begin{array}{r}{- \sin (\theta)} \\ { \cos (\theta)}\end{array}\right] = \left[ \begin{array}{lr}{\cos (\theta)} & {-\sin (\theta)} \\ {\sin (\theta)} & {\cos (\theta)}\end{array}\right] \left[ \begin{array}{l}{x} \\ {y}\end{array}\right]\]

新位置和新基向量是相对绝对坐标系(\(x-y\)坐标系）而言的。其他变换矩阵同理。

总结一下：

• 所有变换矩阵只需关注一点：坐标系的变化，即基向量和原点的变化；
• 坐标系变化到哪里，坐标系中的所有点也跟着做同样的变化；
• 坐标系的变换分为 基向量的变化 以及 坐标原点的变化，在仿射变换矩阵 \(\left[ \begin{array}{lll}{a} & {b} & {c}\\ {d} & {e} & {f} \\ 0 & {0} & {1}\end{array}\right]\)中， \(\left[ \begin{array}{l}{a} \\ {d}\end{array}\right]\)和\(\left[ \begin{array}{l}{b} \\ {e}\end{array}\right]\)为新的基向量，\(\left[ \begin{array}{l}{c} \\ {f}\end{array}\right]\)为新的坐标原点，先变化基向量，再变化坐标原点；

这时再对照上面的各种变换矩阵，就很好理解了。

变换矩阵的参数估计

如果给定两个对应点集，如何估计指定变换矩阵的参数？

一对对应点可以列两个线性方程，多个对应点可以列出线性方程组，为了求解参数，需要的对应点数至少为自由度的一半，多个点时构成超定方程组，可以基于最小二乘或者SVD分解等方法进行求解，这里不再展开。

参考

• Image Alignment and Stitching: A Tutorial
• wiki: Affine transformation
• Geometric Transformation
• Coordinates and Transformations
• Transformations
• Geometric Transformations
• Image Geometry