理论
傅里叶变换用来分析多种过滤器的频率特征。对于图片，2D离散傅里叶变换(DFT)用来找频率范围。一个快速算法叫快速傅里叶变换（FFT）用来计算DFT。
对于正弦信号，x(t) = Asin(2πft).我们可以说f是信号的频率，如果频率范围给定，我们可以看到f的峰值。如果信号是从离散信号采样，我们还是一样的频率范围，但是是周期范围[-π, π] 或[0, 2π]。你可以认为一个图像是从两个方向采样的信号。所以在X和Y方向做傅里叶变换得到图像的频率表现。
对于正弦信号，如果振幅变化很快，你可以说它是高频信号。如果变化很慢，就是低频信号。这个也可以扩展到图像领域，图像里的振幅变化，在边缘，或者噪点变化最大。所以我们可以说，边缘和噪点是图像里的高频内容。如果在振幅上没特别大变化，就是低频内容
我们来看怎么做傅里叶变换
Numpy 里的傅里叶变换
首先我们来看怎么在Numpy里找傅里叶变换。Numpy有一个FFT包来做这个。np.fft.fft2()让我们做频率变换。第一个参数是输入图像，是灰度的，第二个参数是可选的，决定输出数组的大小。如果比输入图像大的话，输入图像会补全0然后再做转换。如果比输入图像小，输入图像会被裁切，如果不传，输出图像大小和输入一样
当你得到了结果，0频率内容会在左上角，如果你想拿到中间来，你需要N/2在两个方向上来移动结果。这个是用函数np.fft.fftshift().当你找到了频率转换，你可以找到振幅谱线。
import cv2
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as pltimg = cv2.imread('messi5.jpg',0)
f = np.fft.fft2(img)
fshift = np.fft.fftshift(f)
magnitude_spectrum = 20*np.log(np.abs(fshift))plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap = 'gray')
plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(122),plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap = 'gray')
plt.title('Magnitude Spectrum'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()
你可以看到白色区域在中心，表示低频内容更多。
现在你达到了频率转换，就可以在频率范围内做更多运算了，比如高通过滤和重建图像，比如反向离散傅里叶变换。你只需要通过一个60x60的矩形窗口去掉低频内容，然后用np.fft.ifftshift()做反向变换，0频率内容又在左上角了。然后做反向快速傅里叶变换 np.ifft2()。结果是复数。
rows, cols = img.shape
crow,ccol = rows/2 , cols/2
fshift[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 0
f_ishift = np.fft.ifftshift(fshift)
img_back = np.fft.ifft2(f_ishift)
img_back = np.abs(img_back)plt.subplot(131),plt.imshow(img, cmap = 'gray')
plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(132),plt.imshow(img_back, cmap ='gray')
plt.title('Image after HPF'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(133),plt.imshow(img_back)
plt.title('Result in JET'), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.show()
结果是
结果显示高通滤波器是一个边缘检测运算，这个我们在图片地图的章节看过，这还显示了大多数凸显该数据是在光谱的低频区域。
如果你仔细看结果，特别是JET色下的图像，你可以看到一些（红色箭头指向的位置），这些波纹状的结构叫做ringing effects(振铃效应)。这是由于我们用来掩图的矩形窗口导致的。所以矩形窗口不用来做过滤，更好的选择是高斯窗口
OpenCV里的傅里叶变换
OpenCV提供了函数cv2.dft()和cv2.idft()。它返回和前面同样的结果但是是双通道的。第一个通道包含了结果的实数部分，第二个通道包含虚数部分，输入图像应该先被转换成np.float32。我们来看看：
import numpy as np
import cv2
from matplotlib import pyplot as pltimg = cv2.imread('messi5.jpg',0)
dft = cv2.dft(np.float32(img),flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
dft_shift = np.fft.fftshift(dft)magnitude_spectrum = 20*np.log(cv2.magnitude(dft_shift[:,:,0],dft_shift[:,:,1]))
plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap = 'gray')
plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(122),plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap = 'gray')
plt.title('Magnitude Spectrum'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()
你也可以用cv2.cartToPolar()同时返回magnitude和phase
现在我们改做反向DFT了，在前面的例子里我们创建了HPF，这次我们看如何用LPF来去除图像里的高频内容，它实际上会模糊图片。我们用高值（1）在低频创建一个掩图，传入低频内容，在高频区域用0.
rows, cols = img.shape
crow,ccol = rows/2 , cols/2# create a mask first, center square is 1, remaining all zeros
mask = np.zeros((rows,cols,2),np.uint8)
mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 1# apply mask and inverse DFT
fshift = dft_shift*mask
f_ishift = np.fft.ifftshift(fshift)
img_back = cv2.idft(f_ishift)
img_back = cv2.magnitude(img_back[:,:,0],img_back[:,:,1])plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap = 'gray')
plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(122),plt.imshow(img_back, cmap = 'gray')
plt.title('Magnitude Spectrum'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()
注意：
和平常一样，OpenCV函数cv2.dft()和cv2.idft()比Numpy要快，但是Numpy函数更友好。
DFT性能优化
DFT计算的性能在数组大小在有些情况下会好一些，当数组大小是2的乘方的时候是最快的。大小是2,3,5的城际是也处理的比较有效。所以如果你担心你的代码的性能，你可以修改数组的大小到某些优化的大小（通过补0），之后再做DFT，对于OpenCV，你必须手动补0，对于Numpy，你指定FFT计算的大小，它会自动补0.
我们怎么找优化大小呢？OpenCV提供了函数cv2.getOptimalDFTSize()。它可以给cv2.dft()和np.fft.fft2()用，我们可以用IPython魔法命令%timeit
In [16]: img = cv2.imread('messi5.jpg',0)
In [17]: rows,cols = img.shape
In [18]: print rows,cols
342 548In [19]: nrows = cv2.getOptimalDFTSize(rows)
In [20]: ncols = cv2.getOptimalDFTSize(cols)
In [21]: print nrows, ncols
360 576
(342,548)被修改成了(360,576)。现在用0补全（对于OpenCV）然后看计算DFT的性能。你可以创建一个新的大的全0的数组，然后吧数据拷贝进去，使用cv2.copyMakeBorder()。
nimg=np.zeros((nrows,ncols))
nimg[:rows,:cols]=img
或者
right = ncols - cols
bottom = nrows - rows
bordertype = cv2.BORDER_CONSTANT #just to avoid line breakup in PDF file
nimg = cv2.copyMakeBorder(img,0,bottom,0,right,bordertype,value=0)
现在我们计算DFT性能和Numpy函数对比
In [22]: %timeit fft1 = np.fft.fft2(img)
10 loops, best of 3: 40.9 ms per loop
In [23]: %timeit fft2 = np.fft.fft2(img,[nrows,ncols])
100 loops, best of 3: 10.4 ms per loop
显示有4倍的性能差别，现在我们用OpenCV的函数
In [24]: %timeit dft1= cv2.dft(np.float32(img),flags=cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
100 loops, best of 3: 13.5 ms per loop
In [27]: %timeit dft2= cv2.dft(np.float32(nimg),flags=cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
100 loops, best of 3: 3.11 ms per loop
也是4倍的差别。你还可以看到OpenCV函数比Numpy的函数快3倍。在反向FFT也是一样。
为什么拉普拉斯是高通滤波器？
有很多人提类似的问题，为什么拉普拉斯是一个高通滤波器？为什么Sobel是高通滤波器等，第一个回答是通过傅里叶变换。对于一些高的FFT取拉普拉斯的傅里叶变换，分析它
import cv2
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt# simple averaging filter without scaling parameter
mean_filter = np.ones((3,3))# creating a guassian filter
x = cv2.getGaussianKernel(5,10)
gaussian = x*x.T# different edge detecting filters
# scharr in x-direction
scharr = np.array([[-3, 0, 3],
[-10,0,10],
[-3, 0, 3]])# sobel in x direction
sobel_x= np.array([[-1, 0, 1],
[-2, 0, 2],
[-1, 0, 1]])# sobel in y direction
sobel_y= np.array([[-1,-2,-1],
[0, 0, 0],
[1, 2, 1]])# laplacian
laplacian=np.array([[0, 1, 0],
[1,-4, 1],
[0, 1, 0]])filters = [mean_filter, gaussian, laplacian, sobel_x, sobel_y, scharr]
filter_name = ['mean_filter', 'gaussian','laplacian', 'sobel_x', \
'sobel_y', 'scharr_x']fft_filters = [np.fft.fft2(x) for x in filters]
fft_shift = [np.fft.fftshift(y) for y in fft_filters]
mag_spectrum = [np.log(np.abs(z)+1) for z in fft_shift]for i in xrange(6):
plt.subplot(2,3,i+1),plt.imshow(mag_spectrum[i],cmap = 'gray')
plt.title(filter_name[i]), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.show()
从图像里你能看到每个kernel的屏蔽的频率区域，什么区域被通过了。从这个信息我们可以知道哪个kernel是HPF哪个是LPF。