2018-2019 ACM-ICPC Nordic Collegiate Programming Contest (NCPC 2018)-E. Explosion Exploit-概率+状压dp
【Problem Description】
我方有\(n\)个人，对方有\(m\)个人，每个人都有一个健康值\(h_i\)，有\(d\)次攻击，每次随机从所有人中选\(1\)个人，减少其\(1\)健康值。问将对方所有人都消灭的概率是多少？
【Solution】
方法\(1\)：
将所有人的健康值作为一种状态，因为\(h\)最大为\(6\)，所以可以将所有人的健康值状态通过\(7\)进制数\(hash\)成一个整数，便于保存以及状态的转移。假设目前的状态\(hash\)值为\(state\)，健康值大于\(0\)的人数有\(sz\)个，枚举所有可能选择的人，对于其中一个人，使其健康值减\(1\)后的状态为\(nextstate\)，则有\(dp[nextstate]=dp[state]\times \frac{1}{sz}\)。经过\(d\)次之后所有状态中，将对方人数为\(0\)的概率加起来即可。
但是有几个问题：
- 最多会有\(10\)个人，所以可能需要\(7^{10}=3\times 10^8\)来保存状态，存不下，但是可以发现，存储状态的时候，与所有人的健康值的大小顺序无关，所以可以强制保证他们有序。这样只需要\(2\times 10^5\)。
- 转换为\(7\)进制且每个状态都对其排序后，最终无法知道那些人是对方的人。可以在保存的时候，将对方的人的健康值取负，这样排序后对方的人一定排在最前端。转换进制也改变为\(13\)进制，且对于每个人的健康值增加\(6\)的偏移值，保证健康值都是正数。这样最终只要判断一下最前端的人的健康值是否大于\(0\)即可。
方法\(2\)：
根据健康值分类，统计每种健康值的人数（己方与对方的人分开统计），然后将\(6\)种健康值对应的人数也通过\(7\)进制数\(hash\)到一个整数上，加上对方的人总共最多需要\(12\)位，且高位存储对方每种健康值的人数，这样可以通过判断\(state\)是否小于等于\(all=(666666)_7\)，来确定对方的人是否全被消灭。
然后就是转移，枚举健康值\(i\)，每次从健康值为\(i\)的人里选\(1\)个人，将其健康值减\(1\)，选择健康值为\(i\)的人的概率为\(\frac{h[i]}{sum}\)，其中\(h[i]\)为，健康值为\(i\)的人数，\(sum\)为总人数。所以有\(dp[state]=dp[nextstate]*\frac{h[i]}{sum}\)。
【Code】
//方法1
#include
#include
#include
//方法2
#include
#include
#include
#include
#include
#include
