$dp$专题总结

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总结

这从国庆到今天这段时间断断续续地考了图论和\(dp\)的专题复习题，图论在上周结束，而\(dp\)在今天也终于迎来了尾声。
因为我也被胡老师安排到学生\(dp\)专题复习，所以这段时间大部分都是在刷\(dp\)题，经过这段时间的复习，我发现了自己的一些缺点，也在改题和刷题中提升了自己，现在在这里把自己的心得总结一下。
首先\(dp\)的基本题型有这几类：
1.普通\(dp\)：没有固定的套路，需要自己分析问题并想出dp的状态和方程。
2.背包：物品有价值和体积，背包的体积是有限的，用有限的体积去装尽可能多的价值的物品，这就是背包问题，当然有很多分类：\(01\)背包，多重背包，完全背包，树上背包......
3.树形\(dp\)：在树上做\(dp\)，需要考虑子树与根的关系。
4.数位\(dp\)：通常是求一个大范围内的满足条件的数，采用记忆化搜索的形式比较方便。
5.计数\(dp\)：与数学结合的\(dp\)，通常求方案数。
6.状压\(dp\)：用一个数在二进制下的形式表示一个状态，一般是对状态需要很详细时使用，数据范围一般也比较小。
7.区间\(dp\)：当只用一个位置表示时无法转移时，考虑状态设成一个区间。
8.期望\(dp\)：结合了数学概率期望的\(dp\)。
9.\(dp\)优化：单调队列优化，数据结构优化，斜率优化，四边形不等式优化......
这几天考的题目基本上覆盖了上述的所有知识点，我相对擅长的有树形dp、状压dp、单调队列优化dp，毕竟是我在主要负责这三个板块，所以复习了很多以前的题，刷了一些新题。经过这些学习，我发现，dp其实也要靠一种感觉，学语言要有语感，做题也有题感，这几天刷了很多树形dp的题，今天看到第二题我就写出了状态和方程，由此可见，刷题可以增加自己的理解，从而能够更快、更准确地写出dp状态和方程。当然我也存在一些不足，比如：没有固定套路的普通\(dp\)就不是很容易想出正确的做法，因为它没有固定的套路，状态的设法，转移方程千变万化，只有对\(dp\)的理解很深入才容易想出正解。
要学好，也不是那么困难，\(dp\)的本质都是相同的，无非都是这四个特点：
1.要去刻画最优解的结构特征。
2.尝试递归地定义最优解的值（就是我们常说的考虑从 转移到）。
3.计算最优解。
4.利用计算出的信息构造一个最优解。
看起来毫无套路，其实考察的就是对问题本质的剖析能力，今后的这段时间，再做dp题时，我也会更加地重视对问题分析的过程，自己不会的，也要找同学讨论，弄清楚他是怎样理解的题目，以及状态和方程的本质。