趣味集算：八皇后问题

有关国际象棋的问题很多，八皇后问题就是其中相当著名的一个。在 8×8 的国际象棋棋盘中，放入 8 个皇后，使它们不互相×××，共有多少种方法呢？

国际象棋中皇后的威力巨大，×××范围是同一行、同一列以及同一斜行，因此，符合条件的 8 个皇后必须都不在同一行、同一列或者同一斜行上。

由于每一行中只能放入一个皇后，所以可以使用一个长度为 8 的序列，依次设入每行中皇后所在的列数，以此来表示皇后的放置状态。当某一行还没有置入皇后时，即该行没有一列上有皇后，记为 0；而每次置入新的皇后时，如果列数不是序列中已有的，就说明没有皇后在同一列中。这样，不同行、不同列就能很容易的判定了。

那么，在置入新的皇后时，就只需要保证它与已有的皇后都不在同一斜行上了。如果一个皇后在 m 行 k 列，那么在 m+n 行，最多只有两个位置和它在同一斜行上，而且这两个位置距离它的横向距离等于纵向距离，也就是说最多

只有 (m+n,k+n) 和(m+n,k-n)这两个位置与这个皇后在同一斜行上。

这样，只要把每个皇后在每一行的所有情况都检查一遍，就可以知道共有多少种情况满足要求了。

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经过上面的抽象分析，我们只需要在集算器中，通过循环计算来完成这些判断就行了。具体代码如下：

	A	B	C	D
1	=[0]*8	>i=1
2	for i>0	>A1(i)=A1(i)+1
3		if A1(i)==9	>A1(i)=0,i=i-1	next
4		if i==1	>i=2	next
5		=A1(i)	=A1.to(i-1)
6		if C5.pos(B5)>0	next
7		else if C5.pselect(i-#==abs(B5-~))>0	next
8		>i=i+1
9		if i==9	>C1=C1 | A1.conj@s()	>A1(8)=0,i=7
10	=C1.len()

第 1 行，A1 就是记录皇后放置状态的序列；B1 定义了一个变量 i，用来在计算时记录当前放置皇后的行。

第 2 行代码，每循环一次，就把当前行的皇后下移 1 列，用这样的方法遍历行中每个位置。

第 3 行代码，如果棋子移到了第 9 列，说明当前行的棋子已经完成了所有位置的循环，此时，应该把当前行的记录复原为 0，并将 i 减 1，可以返回去继续上一行的遍历；特别的，当第 1 行也全部循环后，说明完成了遍历，此时 i 被设为 0，停止循环。

第 4 行代码，在移动第 1 行皇后时，可以不用判断，直接开始放置第 2 个皇后。

第 6 行代码，判断已放好的皇后中，是否存在同一列的；

第 7 行代码，判断已放好的皇后中，是否存在同一斜行的。如果既没有同一列的，也没有同一斜行的，就可以继续放置下一行的皇后了。

如果此时 8 个皇后都放置成功，则在第 9 行代码中记录下当前每个皇后的位置。

经过计算，A10 中结果如下：

可以在 C1 中查看具体结果：

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当然，还可以用经典的递归方式解决这个问题，集算器中递归调用子函数的方法的代码如下：

	A	B	C	D	E
1	[]	=func(A2,A1)		=C1.len()
2	func	for 8	if func(A5,A2,B2)	=A2 | B2
3				if D2.len()==8	>C1=C1 | D2.conj@s()
4				else	>func(A2,D2)
5	func		if A5.pos(B5)>0	return false
6		for A5	if abs(B5-B6)==A5.len()+1-#B6	return false
7		return true

在 A2 定义的子程序中，在一个新行中尝试放置皇后，在 B2 中循环每一个可能的列。

A5 中的子程序用来判断新的一行是否可以使用指定的列，其中在 C5 中查看是否本列已存在皇后，第 6 行查看是否已有皇后在同一斜行，在这样的情况下说明不能放置。如果某一列可以放置，则判断是否 8 个皇后都放置成功，如果已全部设置成功则记录在 C1 中。如果未放置满，则递归调用 A2 中的子程序，继续在下一行放置。这种方法的代码更易理解，计算结果与前面的方法是相同的。