数值计算-插值与拟合

1. 拉格朗日多项式插值

1. 了解概念
   插值多项式
   插值节点
   范德蒙特(Vandermonde)行列式
   截断误差、插值余项

2. 特点

3. 函数实现

    function y=lagrange(x0,y0,x)
    n=length(x0);m=length(x);
    for i=1:m
        z=x(i);
        s=0.0;
        for k=1:n
            p=1.0;
            for j=1:n
                if j~=k
                    p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));
                end
            end
            s=p*y0(k)+s;
        end
        y(i)=s;
    end
   

设n个节点数据以数组x0,y0输入（注意Matlat的数组下标从1开始），m个插值点以数组x 输入，输出数组y为m个插值。
则可用y = lagrange(x0,y0,x)调用。

2. 牛顿（Newton）插值

1. 了解概念
   差商
   差分
   等距节点插值公式(Newton向前插值公式)
2. 特点
   每增加一个节点，插值多项式只增加一项，因而便于递推运算。而且 Newton 插值的计算量小于Lagrange 插值。
3. 函数实现

3. 分段线性插值

1. 了解概念
   插值多项式的振荡

2. 特点
   将每两个相邻的节点用直线连起来，如此形成的一条折线就是分段线性插值函数。它是为了解决高次插值多项式的缺陷：随着插值次数n增加，虽然误差减小，但插值函数光滑性变坏，有时会出现很大的振荡。
   实际上用函数表作插值计算时，分段线性插值就足够了，如数学、物理中用的特殊函数表，数理统计中用的概率分布表等。

3. 函数实现
   一维插值函数interp1：y=interp1(x0,y0,x,'method')

    method 指定插值的方法，默认为线性插值。其值可为：
    'nearest' 最近项插值
    'linear' 线性插值
    'spline' 逐段3次样条插值
    'cubic' 保凹凸性3次插值。
    所有的插值方法要求 x0 是单调的。
    当 x0 为等距时可以用快速插值法，使用快速插值法的格式为'*nearest'、'*linear'、'*spline'、'*cubic'。
   

4. 埃尔米特(Hermite)插值

1. 了解概念

2. 特点
   如果对插值函数，不仅要求它在节点处与函数同值，而且要求它与函数有相同的一
   阶、二阶甚至更高阶的导数值，这就是Hermite 插值问题。
   这里主要讨论在节点处插值函数与函数的值及一阶导数值均相等的Hermite 插值。

3. 函数实现
   设n个节点的数据以数组x0（已知点的横坐标）， y0（函数值）， y1（导数值）输入（注意Matlat 的数组下标从1 开始），m 个插值点以数组x 输入，输出数组y 为m个插值。

    function y=hermite(x0,y0,y1,x)
    n=length(x0);m=length(x);
    for k=1:m
        yy=0.0;
        for i=1:n
            h=1.0;
            a=0.0;
            for j=1:n
                if j~=i
                    h=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;
                    a=1/(x0(i)-x0(j))+a;
                end
            end
            yy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i));
        end
        y(k)=yy;
    end
   

5. 样条插值

1. 了解概念
   样条函数
   关于分划Δ的k次样条函数 k次样条曲线 样条节点 内节点 边界点 k次样条函数空间
   二次样条函数 三次样条函数

2. 特点
   有些问题对插值函数的光滑性有较高要求，要求曲线具有较高的光滑程度，不仅要连续，而且要有连续的曲率，这就导致了样条插值的产生。

3. 函数实现

                                        y=interp1(x0,y0,x,'spline')；
                                        y=spline(x0,y0,x)；
                                        pp=csape(x0,y0,conds)，y=ppval(pp,x)。
                                        其中 x0,y0 是已知数据点，x 是插值点，y 是插值点的函数值。
    对于三次样条插值，我们提倡使用函数 csape，csape 的返回值是pp 形式，要求插值点的函数值，必须调用函数ppval。
    pp=csape(x0,y0)：使用默认的边界条件，即Lagrange 边界条件。
    pp=csape(x0,y0,conds)中的conds 指定插值的边界条件，其值可为：
    'complete' 边界为一阶导数，即默认的边界条件
    'not-a-knot' 非扭结条件
    'periodic' 周期条件
    'second' 边界为二阶导数，二阶导数的值[0, 0]。
    'variational' 设置边界的二阶导数值为[0,0]。
    对于一些特殊的边界条件，可以通过 conds 的一个1×2矩阵来表示，conds 元素的
    取值为1，2。此时，使用命令
    pp=csape(x0,y0_ext,conds)
    其中y0_ext=[left, y0, right]，这里left 表示左边界的取值，right 表示右边界的取值。
    conds(i)=j 的含义是给定端点i 的j 阶导数，即conds 的第一个元素表示左边界的条
    件，第二个元素表示右边界的条件，conds=[2,1]表示左边界是二阶导数，右边界是一阶
    导数，对应的值由left 和right 给出。
   

4. 例题

    已知函数y=(x^2+2x+3)e^(-2x)，给定x的取值从0到1步长为0.1的数据点，用三次样条函数求该函数在区间[0，1]上的积分。
   
    x0 = 0:0.1:1;   
    y0 = (x0.^2+2*x0+3).*exp(-2*x0);
    pp = csape(x0,y0);           %进行三次样条插值
    sy = fnint(pp);              %求样条函数的积分函数，结果为pp数据结构
    I = ppval(sy,1)-ppval(sy,0)  %求样条函数积分的值
   

6. B样条函数插值方法

1. 了解概念
   磨光函数
   等距B样条函数
   一维等距B样条函数插值 二维等距B样条函数插值

2. 特点
   实际中的许多问题，往往是既要求近似函数（曲线或曲面）有足够的光滑性，又要求与实际函数有相同的凹凸性，一般插值函数和样条函数都不具有这种性质。如果对于一个特殊函数进行磨光处理生成磨光函数（多项式），则用磨光函数构造出样条函数作为插值函数，既有足够的光滑性，而且也具有较好的保凹凸性，因此磨光函数在一维插值（曲线）和二维插值（曲面）问题中有着广泛的应用。
3. 函数实现

7. 二维插值

1. 了解概念
   插值节点为网格节点
   插值节点为散乱节点

2. 特点

3. 函数实现

插值节点为网格节点

二次样条插值：z=interp2(x0,y0,z0,x,y,'method')
其中 x0,y0分别为m维和n维向量，表示节点，z0为n × m维矩阵表示节点值，x,y为一维数组表示插值点x与y应是方向不同的向量，即一个是行向量，另一个是列向量，z为矩阵，它的行数为y的维数，列数为x的维数，表示得到的插值，'method'的用法同上面一维插值。
三次样条插值：pp=csape({x0,y0},z0,conds,valconds)，z=fnval(pp,{x,y})
其中 x0,y0 分别为m 维和n维向量，z0 为m × n 维矩阵，z 为矩阵，它的行数为x的维数，列数为y的维数，表示得到的插值，使用方法同一维插值。

插值节点为散乱节点

已知n个节点：(x , y , z )(i 1,2, ,n) i i i = L ，求点(x, y)处的插值z：
ZI = GRIDDATA(X,Y,Z,XI,YI)
其中X、Y、Z 均为n 维向量，指明所给数据点的横坐标、纵坐标和竖坐标。向量XI、YI是给定的网格点的横坐标和纵坐标，返回值ZI为网格（XI，YI）处的函数值。XI与YI应是方向不同的向量，即一个是行向量，另一个是列向量。

最小二乘法的Matlab 实现

1. 解方程组方法
   A = R \Y

    x=[19 25 31 38 44]';
    y=[19.0 32.3 49.0 73.3 97.8]';
    ab=r\y
   

2. 多项式拟合方法
   a=polyfit(x0,y0,m)
   其中输入参数x0,y0 为要拟合的数据，m 为拟合多项式的次数，输出参数a 为拟合多项式y=amxm+…+a1x+a0 系数a=[ am, …, a1, a0]。
   多项式在x 处的值y可用y=polyval(a,x)计算。

最小二乘优化

在Matlab 优化工具箱中，用于求解最小二乘优化问题的函数有：lsqlin、lsqcurvefit、lsqnonlin、lsqnonneg

1. lsqlin 函数
   x=lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)
2. lsqcurvefit 函数
   X=LSQCURVEFIT(FUN,X0,XDATA,YDATA,LB,UB,OPTIONS)
3. lsqnonlin 函数
   X=LSQNONLIN(FUN,X0,LB,UB,OPTIONS)
4. lsqnonneg 函数
   X = LSQNONNEG(C,d,X0,OPTIONS)